2.2.2双曲线的简单几何性质(2)

2.2.2双曲线的简单几何性质（第二课时）2.双曲线x2－y2＝9与双曲线x2－y2＝-5具有相同的________．自主检测1.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，且∠F1MF2＝120度，则双曲线的离心率为（）636.3?     .?     .?     .233ABCD3.直线x=2与双曲线x2－y2＝4的位置关系是________．B渐近线相切1、“共渐近线”的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，λ0表示焦点在x轴上的双曲线；λ0表示焦点在y轴上的双曲线。精讲精析与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；例1.求下列双曲线的标准方程：与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；解：巧设方程,运用待定系数法.设双曲线方程为,22(0)916xy22(3)(23)91614221944双曲线的方程为xy例1.求下列双曲线的标准方程：例2、讨论直线y=x+b与双曲线x2-y2=1的交点个数.解：直线与双曲线的交点的坐标就是它们方程的公共解.讨论方程组y=x+b①x2-y2=1②的解将①代入②，得到x2-(x+b)2=1.整理得2bx+b2+1=0.③如果b=0，则方程③变为1=0,无解，直线与双曲线无交点.事实上，此时直线y=x,就是双曲线的渐近线，当然与双曲线无交点.现在设b≠0,也就是直线平行于两条渐近线中的一条，此时方程③成为一元一次方程，有唯一解，①、②组成的方程组有唯一一组解，直线与双曲线有一个交点oxy221xylyx：（1）当b＝0时，直线为双曲线的渐近线，故与双曲线无交点；oxy221xylyxb：1.当b＝0时，直线为双曲线的渐近线，故与双曲线无交点；2.当b≠0时，直线平行于双曲线的一条渐近线，故有唯一交点。例3、讨论直线x=m与双曲线x2-y2=1的交点个数.解：讨论方程组x=m①x2-y2=1②的解将①代入②，整理得y2=m2-1.③当m2-10即-1m1时，方程③无实数根，直线与双曲线无交点.当m2-10即m-1或m1时，方程③有两个不同的实数根，直线与双曲线相交，有两个交点.当m2-1＝0即m＝-1或m＝1时，方程③有两个相等的实数根，直线与双曲线有唯一的交点（-1，0）或（1，0）.这个交点就是双曲线的一个顶点，直线与双曲线相切于这个顶点.oxy221xy1.当m2-10即-1m1时，直线与双曲线无交点；··1(1,0)A2(1,0)A:lxmoxy221xy1.当m2-10即-1m1时，直线与双曲线无交点；2.当m2-10即m-1或m1时，直线与双曲线相交，有两个交点.··1(1,0)A2(1,0)A:lxmoxy221xy1.当m2-10即-1m1时，直线与双曲线无交点；2.当m2-10即m-1或m1时，直线与双曲线相交，有两个交点；3.当m2-1＝0即m＝-1或m＝1时，直线与双曲线相切。··1(1,0)A2(1,0)A:lxm例4、讨论直线y=-2x+b与双曲线x2-y2=1的交点个数.解：讨论方程组y=-2x+b①x2-y2=1②的解将①代入②，整理得-3x2+4bx-b2-1=0.③当△0即b23时，方程③有两个不同的实数根，直线与双曲线相交，有两个交点.当△0即b23时，方程③无解，直线与双曲线无交点.当△＝0即b2＝3时，方程③有两个相等的实数根，直线与双曲线有一个交点，即直线与双曲线相切.判别式△＝4b2-12oxy221xy由题知判别式△＝4b2-121.当△0即b23时，直线与双曲线相交，有两个交点；··1(1,0)A2(1,0)A:2lyxboxy221xy由题知判别式△＝4b2-121.当△0即b23时，直线与双曲线相交，有两个交点；2.当△0即b23时，直线与双曲线无交点；··1(1,0)A2(1,0)A:2lyxboxy221xy由题知判别式△＝4b2-121.当△0即b23时，直线与双曲线相交，有两个交点；2.当△0即b23时，直线与双曲线无交点；当△＝0即b2＝3时，直线与双曲线有一个交点，即直线与双曲线相切.··1(1,0)A2(1,0)A:2lyxboxy对于一般的双曲线与直线作同样的讨论可以发现它与直线的位置关系有如下5种情况：22221xyab结论：l(1)直线是双曲线的渐近线，与双曲线无交点；oxy对于一般的双曲线与直线作同样的讨论可以发现它与直线的位置关系有如下5种情况：22221xyab结论：l(1)直线是双曲线的渐近线，与双曲线无交点；(2)直线不是双曲线的渐近线，与双曲线无交点；oxy对于一般的双曲线与直线作同样的讨论可以发现它与直线的位置关系有如下5种情况：22221xyab结论：l(1)直线是双曲线的渐近线，与双曲线无交点；(2)直线不是双曲线的渐近线，与双曲线无交点；(3)直线平行于双曲线的一条渐近线，与双曲线有一个交点；oxy对于一般的双曲线与直线作同样的讨论可以发现它与直线的位置关系有如下5种情况：22221xyab结论：l(1)直线是双曲线的渐近线，与双曲线无交点；(2)直线不是双曲线的渐近线，与双曲线无交点；(3)直线平行于双曲线的一条渐近线，与双曲线有一个交点；(4)直线与双曲线相切于一个交点；oxy对于一般的双曲线与直线作同样的讨论可以发现它与直线的位置关系有如下5种情况：22221xyab结论：l(1)直线是双曲线的渐近线，与双曲线无交点；(2)直线不是双曲线的渐近线，与双曲线无交点；(3)直线平行于双曲线的一条渐近线，与双曲线有一个交点；(4)直线与双曲线相切于一个交点；(5)直线与双曲线相交于两个交点2.如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是()随堂练习221.116410xy与双曲线有公共渐近线，且过点（-2，）的双曲线；221936yxC3.P过（0，1）的直线l与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程。222222211,(1)1313124416(1)033333Pykxxkxyxkxkxk解：设过点（0，1）的直线斜率为k,则y=kx+1联立整理得，222110331314161002333kkykkk当即＝时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线有一个公共点；当时，即＝时，直线与双曲线有一个公共点。4．过点P－1，－ba的直线l与双曲线x2a2－y2b2＝1有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实半轴长等于()A．2B．4C．1或2D．2或4解析：依题意知，过点P的直线l与双曲线相切或与双曲线的渐近线y＝－bax平行，所以a＝1或－ba－1＋a＝－ba，解得a＝1或a＝2.所以实半轴长等于1或2，故选C.•答案：C课堂小结:通过本节课的学习,你有哪些收获?(1)“共渐近线”的双曲线的应用；(2)直线与双曲线的位置关系；课后作业P56习题23(1)(2)(5)《学海导航》1xx例5、反比例函数y=的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线.求它的实半轴长和半焦距。以它的中心为原点，实轴所在的直线为轴重新建立直角坐标系，求双曲线在这个坐标系中的方程.2．弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.例5、已知双曲线x2－y23＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点．若P为AB的中点，(1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长．解析：(1)易知直线AB的斜率存在．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2－y2＝3，得3x21－y21＝3,3x22－y22＝3，两式相减得：3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，即y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝3.所以直线AB的斜率kAB＝y1－y2x1－x2＝3x1＋x2y1＋y2＝3×x1＋x22y1＋y22＝3×21＝6.所以直线AB的方程为6x－y－11＝0.(2)将y＝6x－11代入3x2－y2＝3，得33x2－132x＋124＝0.由弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]得|AB|＝1＋36×1322－4·33·124332，所以|AB|＝4332442.[题后感悟]如何求解与弦长有关的问题？(1)列直线方程与曲线方程构成的方程组；(2)化为一元二次方程后，据韦达定理求出x1＋x2，x1·x2的表达式；(3)据弦长公式|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]求解．2、已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范围；(2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．[解题过程](1)联立方程组y＝kx－1，x2－y2＝4，消去y得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由题意得，此方程有两个不等的正根．∴4k2＋201－k20，－2k1－k20，－51－k20.即－52k52，k1或－1k0，k1或k－1.解得1k52.(2)由y＝kx－1x2－y2＝4得(1－k2)x2＋2kx－5＝0(*)易知此方程无解．由1－k2≠0Δ＝4k2＋201－k20得k52或k－52，则k的取值范围为k52或k－52.过点P(8,3)的直线与双曲线9x2－16y2＝144相交于A，B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．解析：设动点M(x，y)，弦AB端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x22＝x，y1＋y22＝y，即x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.且9x21－16y21＝144，9x22－16y22＝144.思悟升华两式作差，得9(x21－x22)－16(y21－y22)＝0，∴9(x1＋x2)(x1－x2)－16(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①当x1≠x2时，9(x1＋x2)－16(y1＋y2)·y1－y2x1－x2＝0.又∵弦AB过点P(8,3)，且中点为M(x，y)．∴可得9×2x－16×2y·y－3x－8＝0.化简x－4212－y－322274＝1，②当x1＝x2时，弦AB中点M(8,0)满足方程要求．综上，弦AB中点M的轨迹方程为x－4212－y－322274＝1.2.已知斜率为2的直线被双曲线x23－y22＝1所截得的弦长为4，求直线l的方程．解析：设直线l方程为y＝2x＋m设l与双曲线x23－y22＝1的交点为A(x1，y1)B(x2，y2)由x23－y22＝1y＝2x＋m得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0则x1＋x2＝－6m5，x1·x2＝3m2＋210|AB|＝1＋22[x1＋x22－4x1x2]＝5－6m52－4×3m2＋210＝4∴m2＝703，∴m＝±2103∴所求直线l的方程为y＝2x±2103.2.如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是()自主检测1.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，且∠F1MF2＝120度，则双曲线的离心率为（）636.3?     .?     .?     .233ABCD3.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．BC15,13