高考第二轮复习――选择、填空题解法技巧及创新题、开放题、压轴题的命题趋势和解答策略(理)-41

第1页版权所有不得复制年级高三学科数学版本通用版课程标题高考第二轮复习——选择、填空题解法技巧及创新题、开放题、压轴题的命题趋势和解答策略编稿老师纪占岭一校林卉二校黄楠审核刘新命题脉络创新题常考题型1.类比归纳型类比归纳型创新题给出了一个数学情景或一个数学命题，要求用发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题，或者根据一些特殊的数据、特殊的情况去归纳出一般的规律。这是新课程较为重视的类比推理、归纳推理。主要考查学生观察、分析、类比、归纳的能力，从不变中找规律，从不变中找变化。2.信息迁移型这类题以学生已有的知识为基础，并给出一定容量的新信息，通过阅读，从中获取有关信息，捕捉解题资料，发现问题的规律，找出解决问题的方法，并应用于新问题的解答。它既能有效地考查学生的思维品质和学习潜力，又能考查学生的综合能力和创新能力。开放题常考题型1.结论存在型由已知条件判断结论是否存在的探索性问题，这类题常以适合某种条件的结论，如“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般是先对结论作出肯定的假设，第2页版权所有不得复制然后由此出发，结合已知条件进行推理论证。若导出合理的结论，则存在性随之解决；若导出了矛盾，也就否定了存在性。这类探索性问题在高考中最为普遍，也最容易设置，只需将明确的、定性的结论改造成需要探索的、讨论的设问方式就可以了。如存在的话，请求出结果；如不存在的话，说明理由。2.结论推广型推广结论的探索性问题，题目只给出问题对象的一些特殊关系，要求探索出一般结论，并论证所得结论的正确性，解决这类问题的方法是归纳和猜想，然后加以证明。对结论要注意它们的外在形式的特征，从中找出规律性的东西，并依此进行推广。这类探索性问题，在高考中也较为普遍，目前只限于有关自然数命题的结论推广。3.条件追溯型一类是条件未知的探索性问题，这类问题的特点是题目给出了明确的结论，但成立的条件未知，需进行探寻和追索，解决这类问题可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法。另一类是缺少条件的探索性问题。这类问题的特点是题目给出了明确的结论和部分条件，要求补足条件，解决这类问题一般是从结论出发，并利用已知条件，进行逆向推理，推得的终结点便是所求的条件。这类题的答案往往是不唯一的，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就可视为正确的。这类问题已在高考中出现，对于考查学生的发散性思维能力有较好的作用。4.命题组合型给出几个论断，选择其中若干个论断为条件，某一个论断为结论，组合成符合问题要求的命题，这类命题组合型探索题，在1999年的高考中已开始试验，评价很好，对于增强学生分析问题的能力和逻辑推理能力起到了较好的效果。这类探索性问题，既注意了学生思维的发散性训练，又注意了思维的聚合性训练，是值得研究和探索的试题设置形式。5.分类讨论型条件都具备，但结论依赖于某个参数，必须对参数进行讨论，才能确定结论的详细情况，这类探索性问题归为分类讨论型。压轴题常考题型：仍将以“函数导数（极值，单调区间）——不等式、函数与数列综合、数列与不等式、数列与解析几何、解析几何中的参数范围问题、解析几何中的最值问题、解析几何中的定值问题、解析几何与向量、探究性问题”等综合知识为主。考向一：选择题解法技巧必备知识与技能：解选择题的原则、策略与方法：（1）基本原则：“小题不用大做”；（2）基本策略：要充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断，一般有两种思路：一是从题干出发考虑探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件；（3）常用方法：①直接法；②特例法；③图解法；④排除法。典例剖析：例题1i是虚数单位，复数2012)313(ii的值为（）第3页版权所有不得复制A.1B.iC.iD.－1思路导航：利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为i，再利用i的周期性即可。解答过程：3＋i1－3i＝)31()31()31()3(iiii＝4i1＋32＝i，故（3＋i1－3i）2012＝i2012＝i4×502＋4＝i4＝1.答案：A点评：直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支。这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解。直接法是解选择题的基本方法，运用时要注意条件中有关的性质和结论，重视简化运算过程，不能一味求快，扎实把握“三基”。例题2过抛物线)0(2aaxy的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11等于（）A.2aB.a21C.4aD.a4思路导航：由于选项是一个固定值，所以用特值代入较好。解答过程：由x2＝1ay知抛物线开口向上，故过焦点F作一在特殊位置的直线即平行于x轴的直线交抛物线于P、Q两点，则PF＝FQ＝12a，即1p＋1q＝4a.答案：C点评：特例检验（也称特例法或特殊值法），是用特殊值（或特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。运用特例法解题时要注意：（1）所选取的特例一定要简单且符合题设条件。（2）特殊只能否定一般，不能肯定一般。（3）运用特殊值时，有时在同一题中运用多次才能选出正确选项。例题3已知向量)sin2,cos2(),0,2(),0,2(CAOCOB，则向量OA与OB的夹角范围为（）A.[0，π4]B.[π4，512π]C.[512π，π2]D.[π12，512π]思路导航：由)sin2,cos2(CAOC知点A的轨迹是以C（2，2）为圆心、2为半径的圆。所以当OA是圆的切线时，向量OA与OB的夹角取得最值。解答过程：如图，点A的轨迹是以C（2，2）为圆心、2为半径的圆。过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N。连接CM，CN。第4页版权所有不得复制22||OC，||21||||OCCNCM。知∠COM＝∠CON＝π6.又∵∠COB＝π4，∴∠MOB＝π12，∠NOB＝512π.答案：D点评：根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法。有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略。运用数形结合法解题时一定要对有关的函数图象、方程曲线、几何图形较为熟悉。作图分析时要使图形尽可能的准确，否则会导致错误的选择。例题4方程0122xax至少有一个负根的充要条件是（）A.10aB.1aC.a≤1D.0＜a≤1或a＜0思路导航：本题直接求解需讨论多种情况，比较麻烦，选项都是一个范围，故可用特值代入。解答过程：当a＝0时，x＝－12，故排除A、D。当a＝1时，x＝－1，排除B。答案：C点评：数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论。筛选法（又叫排除法）就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，逐一剔除错误的选项，从而获得正确的结论。选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在已缩小的选项的范围内找出矛盾逐步筛选，直到得出正确的选择。考向二：填空题解法技巧必备知识与技能：解填空题的原则与策略、方法：（1）基本原则：小题不能大做；（2）基本策略：巧做；（3）基本方法：①直接法，②数形结合法，③特殊化法，④等价转化法，⑤构造法等。典例剖析：例题1设抛物线yx42的焦点为F，经过点)4,1(P的直线l与抛物线相交于A、B第5页版权所有不得复制两点，且点P恰为AB的中点，则||||BFAF＝________.思路导航：求||||BFAF的长的问题，可以转化为求点A，B两点到准线的距离和的问题。解答过程：∵x2＝4y，∴p＝2.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8.2||,2||21pyBFpyAF，∴1028||||21pyyBFAF。答案：10点评：直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法。例题2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.思路导航：题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值，故可用特值法，令a＝3，b＝4，c＝5。解答过程：令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cosA＝45，cosC＝0，代入所求式子，得cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45＋01＋45×0＝45，故填45.答案：45点评：当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。特殊值代入求值或比较大小关系等问题的求解均可利用特殊值代入，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题则不能使用该种方法求解。例题3如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，则形成三棱锥的外接球的体积为________。思路导航：先判定三棱锥的形状，易得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，然后把正四面体补成正方体，正四面体的外接球就是正方体的外接球。解答过程：如图，把正四面体放在正方体中，显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球。第6页版权所有不得复制∵正四面体的棱长为1，∴正方体的棱长为22.∴外接球的直径2R＝3·22.∴R＝64.故所求外接球的体积为V球＝43πR3＝43π·643＝68π.答案：68π点评：在解题时有时需要根据题目的具体情况，构造出一些新的数学形式、新的模式解题，并借助它认识和解决问题。通常称之为构造模式解法，简称构造法。构造的方向可以是函数、方程、不等式、数列、几何图形等。构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用。通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题。在立体几何中补形构造是最为常用的解题技巧。例题4已知函数f（x）＝)0(3)0(log2xxxx，且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的范围是________。思路导航：本题是一个含有几何背景的填空题，可用数形结合法转化为函数y＝f（x）与y＝a－x的图象交点的横坐标。解答过程：方程f（x）＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f（x）与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a≤1时，两个函数图象有两个交点，当a＞1时，两个函数图象的交点只有一个。所以实数a的范围是（1，＋∞）。答案：（1，＋∞）点评：对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，韦恩图、三角函数线、函数图象，以及方程的曲线等都是常用的图形。应用数形结合法解题的关键是正确把握各种式子与几何图形中变量之间的对应关系，准第7页版权所有不得复制确利用几何图形中的相关结论。考向三：创新与开放题必备知识与技能：解创新题的策略：仔细阅读分析材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围绕定义与条件，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理，发现解题方法，然后解决问题。典例剖析：例题1对于函数)(xf