抛物线焦点弦性质(1)

1、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。xOyFP通径的长度：2P2、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。),(00yx通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA3.焦点弦：),(11yxB),(22yx方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）OxyAFB的焦点弦性质二、抛物线)0(22ppxy221pyy)2(:pxkylAB设pxy22由)2(pxky02:22pykpyx，得消221pyy2121.2yyyyBA，则、的纵坐标为、若212121.1yyyyHH，则、的纵坐标为、若为通径为焦点弦，下记21HHAB知轴，则由若.1)1xAB2p轴，则不垂直于若xAB)2？2p课本P119习题8.5的第7题的焦点弦性质二、抛物线)0(22ppxy22121pyyyyBA，则、的纵坐标为、若为通径为焦点弦，下记21HHAB4.122121pxxxxBA，则、的横坐标为、若？点，则该直线是否经过焦，满足、的两个交点的纵坐标若直线与抛物线Fpyyyyppxy221212)0(2.2OxyAFB),(),(2211yxByxA，设交点为，若21)1xx221pxxFAB过焦点直线,221xx若）pypyyy22212212212yyp211pxykAF22211ppyy22112pypy212112yyypyAFABkk212yypFAB过焦点直线FABpyyppxyyxByxA过焦点直线则上，在抛物线，若22122211)0(2),(),(？点，则该直线是否经过焦满足，、的两个交点的纵坐标若直线与抛物线Fpyyyyppxy221212)0(2.2pyy||||21则1212xxyykAB则OxyAFB2||pxAFA焦半径||AB焦点弦长pHH2||21通径对称轴的夹角）与为直线其中ABp(sin22时，当90pxy22由tan)2(pxy0tan4)2tan(tan22222pxppxy，得：消4,tan2221221pxxppxx44)tan2(tan1||2222pppAB22tan1tan2p2sin2ppxxBA||AB焦点弦长2pxtan)2(:pxylAB的倾斜角）为直线其中ABp(sin22的焦点弦性质二、抛物线)0(22ppxy为通径为焦点弦，下记21HHABpxxAB21||)1焦点弦长对称轴的夹角）与为直线其中焦点弦长ABpAB(sin2||)22【探究】过焦点的所有弦中，何时最短？.22sin21sin22pABpp的最小值为【结论】过焦点的弦中通径长最小。),(22yxB，),(11yxA⒈过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点．若，则|AB|=___________xy42621xx⒉过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则此弦长为________；一条焦点弦长为16，则弦所在的直线倾斜角为_________．xy12243⒊过抛物线的对称轴上有一点M(p,0)，作一条直线与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为，则B点纵坐标为________)0(22ppxy2p824pxxAB21||焦点弦长与对称轴的夹角）为直线其中焦点弦长ABpAB(sin2||2323或4p22122220222)(pyypykpypxypxky由m【探究1】以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？设M为AB的中点,过A点作准线的垂线AA1,过B点作准线的垂线BB1,过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知:，所以二者相切。222MM111ABBFAFBBAA【结论1】以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。xyMOFBAA1B1M1【探究2】连接A1F、B1F则A1F、B1F有什么关系？。同理∥FBFAFBAFBBFOBFAAFOAFOAFAAOFAAAFAFAAAFAA11011111111111190;,.211FBFA】【结论4OBOAkk44222211ppxyxykkOBOA【探究3】弦端点A、B与原点连线的直线斜率之积等于定值-4.【结论3】【探究4】A,O,B1三点是否共线?OBAOppOBAOkkyypxyykxyk112211122112且【结论4】A,O,B1三点共线。xOyFA),(11yxB),(22yx【探究5】是否为定值？11||||FAFBppxxpxxxxpxxBFAFBFAFBApBApBpABA2)())((111222pBFAF211为定值【结论5】【探究6】抛物线焦点弦的端点A,B为切点的两条切线是否相互垂直？1)()2()2(2),(2),(212212121214222112121221222121111ppxpxpkkxpkyxBxpkyxA则处切线的斜率为同理在点处切线的斜率为在点由导数的几何意义，【结论6】抛物线焦点弦的端点A,B为切点的两条切线相互垂直。例题1、AB、是抛物线22(0)ypxp上的两点,满足OAOB(O为坐标原点).求证:⑴AB、两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值;⑵直线AB经过一个定点.设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）⑴1212,OAOByykkxx∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∴221212022yyyypp∵y1≠0，y2≠0∴y1y2=-4p2∴x1x2=4p2⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)∴1212122yypxxyy∴122ABpkyy∴直线AB：11122()pyyxxyy∴11121222pxpxyyyyyy∴21112121222ypxyypxyyyyy∵2211122,4ypxyyp∴2121224pxpyyyyy∴122(2)pyxpyy∴AB过定点（2p,0）.例题2过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别是()(A)2a(B)(C)4a(D))0(2aaxy等于q1p1q则p,a21a2yxF.PQC本节课，我们主要从代数（方程）的角度和几何观点研究抛物线的焦点弦的一些性质。而对于从几何观点去研究它的性质，希望同学们课后进一步的完成。