抛物线的几何性质优质课

抛物线的简单几何性质(一)一、复习回顾：l.FMd.xOyK－－抛物线标准方程0p是焦点到准线的距离22ypx1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线l叫做抛物线的准线。注：当点F在抛物线上时，轨迹为一条直线。图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px2px2py2py)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pFy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）巩固练习1：限时2分钟方程焦点准线开口方向xy62yx420722yx)0,(23F)0,1(F)1,0(F),0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下规律：对称轴看x的次数，开口方向看系数的正负•类比椭圆、双曲线，抛物线有怎样的性质呢？yox)0,2(pFP(x,y)二、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2=2px（p0）220pxy而0p0x所以抛物线的范围为0x范围的应用2py=xPQ1、已知Q（2,0），为上任一点，则的最小值2222(,)(2)37734()(0)242pxypQxyxxxx解：设，则14变式：若Q点改为（,0），则PQ的最小值为多少min11=x(0)244pPQxxPQ解：，(,)xy关于x轴对称(,)xy由于点也满足，故抛物线(p0)关于x轴对称.(,)xyy2=2pxy2=2px2、对称性yox)0,2(pFP(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:３、顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。4、离心率yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。方程图形范围对称性顶点焦半径离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）1（5）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。xOyFP通径的长度：P越大,开口越开阔),(00yx利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.2p4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21y2=2px（p＞0）答案：22．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|＝43，则焦点到AB的距离为________．解析：由方程y2＝4x知抛物线关于x轴对称．故可设A(x0,23)，且点A在抛物线上．∴(23)2＝4x0，∴x0＝3，∴直线AB的方程为x＝3.又抛物线y2＝4x焦点坐标为F(1,0)．∴焦点F到直线AB的距离d＝|3－1|＝2.题型一：弦长问题例1：斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:弦长公式：计算弦长(运算量一般);法三:利用定义、焦半径公式，结合韦达定理,计算弦长.（运算量较小）三、题型讲解xyOFABB’A’224,(1)4,yxxx代入方程得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx例1.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-11228ABAFBFxx法二：巩固练习：过抛物线的焦点的直线,则被抛物线截得的弦长AB为16，则直线方程为28yxFAxyBy=x-2或y=-x+2注意：1、斜率是否存在2、二次项的系数是否为零把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是:①方程组有一组解直线与抛物线相交或相切(1个公共点;②方程组有两组解直线与抛物线相交(2个公共点);③方程组无解直线与抛物线相离题型二、直线与抛物线的位置关系⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线的对称轴平行;相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于抛物线的对称轴;相离:直线与抛物线无公共点.⑵直线与抛物线的位置关系的判断.判断直线与抛物线的位置关系的步骤设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0.(2)若a≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点．(1)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．2:y1,:4x12lkxCyklc直线抛物线，当为何值时，与有）一个公共点）两个公共点3）没有公共点？巩固练习021k031kk1、当k1且k时有两个交点、当或时有一个交点、当时没有交点四、小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的弦长问题、判断直线与抛物线的位置关系。五、当堂检测:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.2.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_________16060323y2=8x3.过点(0,1)M且和抛物线C:24yx仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.101yxyx或或