抛物线的切线

结论:200002000020000200(,)2(0)()(,)2(0)()(,)2(0)()(,)2(0)PxyypxpPyypxxPxyypxpPyypxxPxyxpypPxxpyyPxyxpypP是抛物线=上一点,过点作抛物线的切线,则切线方程为:=是抛物线=-上一点,过点作抛物线的切线,则切线方程为:=-是抛物线=上一点,过点作抛物线的切线,则切线方程为:=是抛物线=-上一点,过00()xxpyy点作抛物线的切线,则切线方程为:=2220022200222220020000000:1.(,)2.()()()((,)()()3.(,)40)PxyxyrPPxyxaybrPPxyxyDxEyFDEFxxyyrxaxaybybrxxxxyyDP类比圆是圆上一点,过点作圆的切线，则切线方程为:是圆上一点,过点作圆的切线，则切线方程为:是圆0(+)上一点,过点作圆的切线，则切线方+=+=++程+为:022yyEF+++=02002xxxxxx若点P为圆外一点，则为切点弦方程其实同样适用于椭圆和抛物线，需证明抛物线的切线问题阿基米德三角形名称的由来抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3．ABP推论：PM//抛物线的轴反之，若点P在准线上，则AB过焦点，即A,B,F三点共线且FPABPAPB若AB过焦点，则点P在准线上，且FPABPAPB焦点弦的切线性质：小结:1.我们在抛物线切线特征的基础上，得到了切线公式,切点弦公式。对抛物线的切线问题进行深入研究,数形结合，合理猜想，探究了切线与相交弦之间的关系，加深对抛物线中切线应用的理解.2.坐标法是解析几何最重要的思想方法,是解决直线与圆锥曲线的综合问题的有效方法.3.在解题的探索过程,培养大家的发现问题的能力,钻研问题能力.OABPF阿基米德三角形的性质性质6若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设l方程为0axbyc，且11(,)Axy，22(,)Bxy，弦AB过点C00(,)xy，由性质2可知Q点的轨迹方程00()yypxx，该方程与0axbyc表示同一条直线，对照可得00,cbpxyaa，即弦AB过定点C（ca，bpa）.l阿基米德三角形的性质性质7（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q在准线上，则底边过焦点．（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为2p．证明（2）：若底边过焦点，则00,02pxy，Q点轨迹方程为2px即为准线；易验证1QAQBkk，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点；∴|QM|=122xx2p=22124yyp+2p≥122||4yyp+2p=224pp+2p=p，而121||()2QABSQMyy≥12||||QMyy≥2p题型类比拓展题3（2007江苏卷，理19题）：如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线，与抛物线2yx相交于AB，两点．一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于点PQ，．（1）若2OAOB，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．ABCPQOxyl阿基米德三角形的性质性质9在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB．证明：如图，作AA'⊥准线，BB'⊥准线，连接QA'、QB'、QF、AF、BF，则1'FAykp，显然'1FAQAkk，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|，由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF，∴△QAA'△QAF，∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA，同理可证|QB'|=|QF|，∠QB'B=∠QFB，∴|QA'|=|QB'|，即∠QA'B'=∠QB'A'∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B,∴∠QFA=∠QFB，结论得证．特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.题型类比拓展题1（2005年江西卷，理22题）：如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.xyOABPFl阿基米德三角形的性质性质10|AF|·|BF|=|QF|2．证明：|AF|·|BF|=12()()22ppxx=21212()24ppxxxx=212()2yyp+22124yy+24p，而|QF|2=221212()()222yyyypp=212()2yyp+22124yy+24p=|AF|·|BF|.变式4:设抛物线方程为22(0)xpyp，若M(x0,2p)是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,过M引抛物线的切线，切点分别为AB，问:A,B,F三点是否共线?)(00yypxx解：由结论2可知：经过AB两点的直线方程为：20pyx，所以令)2(0pypxx即所以A、B、F三点共线变式5:如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，若M(x0,2p)是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,过M引抛物线的切线，切点分别为AB，．问:直线AM,BM有何位置关系?)2(0pypxx解：由结论2可知：经过AB两点的直线方程为：),(),,(2211yxByxA设)2(0pypxxpyx22联立方程：得：02202pxxx221pxx所以：由22xpy，得xyp，所以1MAxkp，2MBxkp即两直线垂直所以,1.MBMAkk变式6:如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，若M(x0,2p)是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,过M引抛物线的切线，切点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则AB与MF两直线的关系如何？)2(0pypxx解：由结论2可知：经过AB两点的直线方程为：pxkAB0000)2(2xpxppkMF垂直。与即MFABkkMFAB,1.2012年江西卷理科第20题已知三点(0,0),(2,1),(2,1)OAB，曲线C上任意一点M（x，y）满足||()2MAMBOMOAOB．（1）求曲线C的方程；（2）动点00(,)Qxy（022x）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l．问：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．解题方法研究解：（1）依题意可得(2,1)MAxy，(2,1)MBxy22||(2)(22),()(,)(0,2)2MAMBxyOMOAOBxyy由已知得22(2)(22)22xyy，化简得曲线C的方程：24xy（2）假设存在点P（0，t）（t0）满足条件，则直线PA的方程是12tyxt，直线PB的方程是12tyxt，曲线C在点Q处的切线l的方程为200,24xxyx它与y轴的交点为20(0,)4xF，由于022x，因此0112xxyOABPFDEQ解题方法研究①当10t时，11122t，存在0(2,2)x，使得0122xt，即l与直线PA平行，故当10t时不符合题意②当1t时，00111,12222xxtt，所以l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组2200001122,2424ttyxtyxtxxxxyxyx，解得D，E的横坐标分别是22000044,2(1)2(1)DExtxtxxxtxt则202204(1)(1)EDxtxxtxt，又20||4xFPt，解题方法研究有220220(4)11||||28(1)PDEEDxttSFPxxtx，又2200414(1)242QABxxS于是22200220(4)[(1)]41(4)QABPDESxxtStxt42220042200[4(1)]4(1)41816xtxttxtxt对任意0(2,2)x，要使△QAB与△PDE的面积之比是常数，只需t满足2224(1)84(1)16tttt，解得t=-1，此时△QAB与△PDE的面积之比为2，故存在t=-1，使△QAB与△PDE的面积之比是常数2。