抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质X需要2个课时长春市九台区实验高中许世君定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2py一、温故知新范围1、yox)0,2(pF由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性2、yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，顶点3、yox)0,2(pF定义：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.只有一个注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21P越大,开口越开阔y2=2pxxyo·FlAB过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB叫做抛物线的通径，),2(),2(ppBppA、长度为2pP越大，开口越阔补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。补充（1）通径：|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22解:所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx22三、典例精析坐标轴当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.162、已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。22(0)ypxp4解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.例2、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。l24yxAA`B`BFOxy214,,lyxFABAB例2、斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，求线段的长。xyOFABB’A’,12,2pp解：由题意可知，.1:xl准线.,,),,(),,(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设,1,121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知221xxBFAFAB所以214,,lyxFABAB例2斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，求线段的长。xyOFABB’A’1),0,1(xyABF的方程为所以直线为由已知得抛物线的焦点,4)1(,422xxxy得代入方程.0162xx化简得8262121xxABxx。的长是所以，线段8AB例3、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴分析：用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线BD与抛物线对称轴间的位置关系OBAFCxy探究展示（焦点弦问题）如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.1.以AB为直径的圆与准线l的位置关系是什么？2.|AB|＝_____________________；3.若直线AB的倾斜角为α,则|AB|＝______;当α＝_____时，AB最短；|AF|=_______|BF|=_____________4.x1·x2＝_______，y1·y2＝_______.相切x1+x2+p)2(20px或2sin2p900巩固与训练:1.AB是抛物线x=y2的一条焦点弦，且｜AB｜=4，则AB的中点到直线x+1=0的距离为()(A)25(B)2(C)3(D)4112.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线24yx上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)6D选B如右图准线为l，||PFP到l的距离.∴min(||||)PAPFA到l的距离=4.234|AB|=6yxAB、抛物线上的两点、满足，求线段AB的中点到y轴的距离的最小值242|AB|=4AByx、已知是过抛物线的焦点的弦，若，则AB中点的纵坐标是（）直线与抛物线的位置关系例5已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?解:依题意直线l的方程为1(2)ykx联立21(2)(*)4ykxyx你认为是消x呢,还是消y呢?消去x可得244(21)0kyyk(Ⅰ)当0k时,方程(Ⅰ)只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点当0k时,方程(Ⅰ)的根的判别式△=216(21)kk①当△=0时,即0k1或2………………作图直觉思考1:(课本第70页例6)已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?练习巩固几何画板演示课堂练习:1.过点(0,1)M且和抛物线C:24yx仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.2答案k联立214ykxyx消去x得2440kyy101yxyx或或课堂练习:2.已知正方形ABCD的一边CD在直线4yx上,顶点AB、在抛物线2yx上,求正方形的边长.解：设AB的方程为y=x+b,课堂练习:2.已知正方形ABCD的一边CD在直线4yx上,顶点AB、在抛物线2yx上,求正方形的边长.由2yxbyx消去x得y2-y+b=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=1,y1y2=b,∴211ABk21112()4yyyy=28b，又AB与CD的距离d=42b,由ABCD为正方形有28b=42b,解得b=-2或b=-6.∴正方形的边长为32或52.例6若抛物线2yx存在关于直线:1(1)lykx对称的两点,求实数k的取值范围.分析：假设存在关于直线:1(1)lykx对称的两点A、B,看k应满足什么条件.显然0k不合题意,∴0k∴直线AB的方程为1yxbk继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.试试看!答案:20k学习小结:无论是弦长问题,还是中点问题,以及对称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.巩固与训练:1.求抛物线22yx的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.2.若抛物线22yx上两点1122(,),(,)AxyBxy关于直线yxm对称,且1212xx,则_____.m2x（22y≥）（即在抛物线的内部）32直线与抛物线的位置关系⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线的对称轴平行;相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于抛物线的对称轴;相离:直线与抛物线无公共点.⑵直线与抛物线的位置关系的判断.把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是:①方程组有一组解直线与抛物线相交或相切(1个公共点;②方程组有两组解直线与抛物线相交(2个公共点);③方程组无解直线与抛物线相离272(0),ABypxpOAOBAB例：点、是抛物线上两点，满足求证直线过顶点。过定点问题四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：