9-10定积分及其相关问题典型例题

数学分析电子教案热烈欢迎各位朋友使用该课件！广州大学数学与信息科学学院数学分析电子教案数学分析广州大学袁文俊、尚亚东数学分析电子教案习题课一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第五章数学分析电子教案一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题例1.求.d1lim10xeexxxnn解:因为时,xxneex10所以xeexxxnd1100xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10xeexxxnn,nx数学分析电子教案因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理原式不对!,n.10说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.px11ppxx11)10(x1px1如,P265题4数学分析电子教案解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：nkknkn11sin已知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准则可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin(考研98)11limnnn例2.求数学分析电子教案思考:提示:由上题1sinlimnIJnn11)1(sinnnnn11)1(sinlimnnnnn2200故数学分析电子教案练习:1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242.求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示：原式nn1limnini121limnnnnini12xxd21011limnnnini12左边=右边数学分析电子教案例3.估计下列积分值解:因为41,412x∴xd2110xxd41102即216数学分析电子教案例4.证明证:令则令得故数学分析电子教案例5.设在上是单调递减的连续函数，试证1,0q都有不等式证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理))(1fq)()1(2fq10q当时,故所给不等式成立.明对于任何数学分析电子教案例6.解：且由方程确定y是x的函数,求方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得,3,1Cy得令机动目录上页下页返回结束故数学分析电子教案例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设f(x)≠0,则xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx)cos2ln(21机动目录上页下页返回结束数学分析电子教案注意f(0)=0,得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfCxxf)cos2ln(21)(数学分析电子教案例8.求多项式f(x)使它满足方程解:令,txu则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d)1(242xx两边求导:)(xfxttf0d)1()1(xfxxx443可见f(x)应为二次多项式,设代入①式比较同次幂系数,得故①再求导:数学分析电子教案二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?数学分析电子教案例9.求解:令,sintex则原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26]coscotcscln[ttt6223)32(ln数学分析电子教案例10.求解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20xxxd)sin(cos40xxxd)cos(sin24]cos[sinxx04]sincos[xx42)12(22yox4xsinxcos数学分析电子教案tttcbcadcos99例11.选择一个常数c,使解:令,cxt则因为被积函数为奇函数,故选择c使)(cbca即2bac可使原式为0.数学分析电子教案例12.设解:xxfxd)()1(102013)()1(31xfxxxfxd)()1(31103xexxxd)1(31102322101)1(2)1d()1(612xexx))1((2xu令10d6ueueu01)1(6ueue)2(61e数学分析电子教案例13.若解:令试证:xxfd)(sin20,xt则ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0xxfd)(sin20数学分析电子教案因为xxfd)(sin20对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfd)(sin20数学分析电子教案例14.证明恒等式证:令则因此,)0()(2xCxf又4故所证等式成立.数学分析电子教案例15.试证使分析:要证即xaxxgd)(xaxxfd)(故作辅助函数至少存在一点数学分析电子教案证明:令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(在上连续,在至少使即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点数学分析电子教案思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示:设辅助函数数学分析电子教案例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且.0)(xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1)在(a,b)内f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使)(2d)(22fxxfabba(3)在(a,b)内存在与相异的点,使baxxfaabfd)(2))((22(03考研)数学分析电子教案证:(1),)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.，又0)(xf所以f(x)在(a,b)内单调增,因此),(,0)()(baxafxf(2)设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa,0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件,于是存在使),,(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2数学分析电子教案即)(2d)(22fttfabba(3)因0)()(ff)()(aff在[a,]上用拉格朗日中值定理),(),()(aaf代入(2)中结论得))((2d)(22afttfabba因此得baxxfaabfd)(2))((22数学分析电子教案例17.设证:设且试证:ttfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()]()([2故F(x)单调不减,即②成立.②xattfd)(xatft)(d2)(ax数学分析电子教案作业(总习题五)P2642(3),(5);4;5(1);7(2),(5);10数学分析电子教案广州大学袁文俊、尚亚东