9-2 二重积分的计算法

第二节二重积分的计算法1.利用直角坐标计算(续)2.利用极坐标计算3.小结、作业如果积分区域为：,bxa).()(21xyx［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD.),(),()()(21DdcyydxyxfdydyxfX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤①画域，②选序，③定限ⅱ）累次积分中积分的上限不小于下限ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线，若是X—型，就先y后x;若是Y—型，就先x后y.注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。例6.改换.),(2140的积分顺序xxdyyxfdx解：写出D的表达式，.40,21:xxyxD画D的图形改为先对x再对y的积分xxdyyxfdx2140),(yydxyxfdy2202),(yx0Dxy21xy24例7改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.解画积分区域如图xy222xxy原式102112),(yydxyxfdy.问：从积分域的形状看，此域上的积分应选什么样的积分顺序？例8计算DxyxyyxxDdxdyye1,2,2,1:,解D是X—型区域2121xxydyyedxI要分部积分，不易计算若先x后y则须分片122211112xyxyyIdyyedxdyyedx易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。D例9求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.解dyey2无法用初等函数表示积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e例10.关于分块函数在D上的积分.Ddxy||求其中D：0x1,0y1解：积分区域如图记f(x,y)=|y–x|=y–x,当yx时,x–y,当yx时,且区域D1:yx和D2:yx分处在直线y=x的上，下方.故，原式=21)()(DDdyxdxyyx011DD2y=xD1xxdyyxdxdyxydx010110)()(10021012)21()21(dxyxydxxyyxx10210221)2121(dxxdxxx31注：分块函数的积分要分块(区域)来积.另外，带绝对值的函数是分块函数。yx0D211y=xD1D例11求由下列曲面所围成的立体体积，yxz，xyz，1yx，0x，0y.解画图.所求体积DdxyyxV)(1010)(xdyxyyxdx103])1(21)1([dxxxx.247所围立体在xoy面上的投影D如图所示。例12.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来.另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。以上各例说明:iiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,iiirr.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxfAoDiiiiirriirrr二、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图极点在区域之外ADo)(1r)(2r,).()(21rDrdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()()(21rdrrrfd区域特征如图AoD)(1r)(2r,).()(21rDrdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()()(21rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图（极点在D的边界上）AoD)(r,).(0rDrdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(0rdrrrfd注意里层积分下限未必全为0二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图（极点在D的内部）DoA)(r,20).(0rDrdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd例13.求221,Dxydxdy其中D：x2+y21.解：一般,若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用极坐标积分。0xyx2+y21令x=rcos,y=rsin,则x2+y21的极坐标方程为r=1.由(2)D*:0r1,02221Dxydxdy10222220sincos1rdrrrd102201rdrrd])(121[21022rdr10232)1(32r32另由几何意义：32)(21122单位球体积Ddyx例14写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.解在极坐标系下sincosryrx1yx122yx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd例15计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrr20d由于故坐标计算.注:利用此例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D为R2时,利用上例的结果,得①故①式成立.例16计算RxyxDdyxRD22222:,解rdrrRdIR22cos0222223220cos)(31dRrR22232223])cos([31dRRRdR]sin1[322332033)sin1(32dR)34(33R|)sin|)(sin(3232注意例17.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVDcos2022d4arrra)322(3323aoxyza2计算,2(1cos)DIydDr其中为的上半部分与极轴所围成的区域。解：心脏线方程，考虑用极坐标。02(1cos):0rD2(1cos)2200sinsin323Drdrddrdr故I=练习关于二重积分计算的说明：一、基本方法——化为累次积分（降维数）。二、关键——选择适宜的坐标系和累次积分的顺序。根据：(1)积分域的形状（分块少，表达简便）矩形、三角形、边界主要为直角坐标线——直角坐标；扇形、圆域、圆环域边界主要为极坐标线——极坐标；(2)被积函数的形式（各层积分中的原函数易求）含x2+y2——极坐标，一般先r后的顺序。三、利用对称性、轮换对等性化简计算。四、利用几何意义化简计算。五、化为二次积分后，各层积分都有：上限下限。设)(xf在]1,0[上连续，Adxxf10)(，求110)()(xdyyfxfdx.思考题1)(xdyyf不能直接积出,令110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答则原式ydxyfxfdy010)()(.,)()(010xdyyfdxxfxyo故110)()(2xdyyfdxxfIxdyyfdxxf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx.)()(21010Adyyfdxxf.212AI作业习题9-24(2)(4)；5;6(2),(4);8；10；11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4).例.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例求曲线)(2)(222222yxayx和222ayx所围成的图形的面积.解根据对称性有14DD在极坐标系下,222arayx)(2)(222222yxayx,2cos2ar由arar2cos2,得交点)6,(aA,所求面积Ddxdy14Ddxdy2cos2064aardrd).33(2a