曲线的渐近线及图形的描绘

第六节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘机动目录上页下页返回结束函数图形的描绘第三章无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,一、曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfyPxyo机动目录上页下页返回结束1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线.by)(x或若则曲线有垂直渐近线.0xx)(0xx或例1.求曲线的渐近线.解:2)211(limxx2y为水平渐近线;,)211(lim1xx1x为垂直渐近线.21机动目录上页下页返回结束2.斜渐近线斜渐近线.bxky)(x或若)(bxk0])([limxbkxxfxx)(bxk0])([limxbkxxfx])([limxbxxfkxxxfkx)(lim])([limxkxfbx机动目录上页下页返回结束)(x或)(x或(P75题13)例2.求曲线的渐近线.解:,)1)(3(3xxxy,lim3yx)1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx])([limxxfbx3232lim22xxxxx2xy为曲线的斜渐近线.机动目录上页下页返回结束312xy二、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周机动目录上页下页返回结束例3.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2),22xxy,22xy,0y令,0y令3)xyyy012)0,()1,0()2,1(),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy133220机动目录上页下页返回结束1231例4.描绘方程的图形.解:1),)1(4)3(2xxy定义域为2)求关键点)3(2xy4044yxy)1(223xyxyy42048yxy)1(241xyy得令0y;3,1x机动目录上页下页返回结束113)1,()1,1()3,1(),3(xyyy20,)1(4)3(2xxy,)1(4)1)(3(2xxxy3)1(2xy3)判别曲线形态00(极大)(极小)4)求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义机动目录上页下页返回结束1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx]41)1(4)3([lim2xxxx)1(495limxxx45)1(4)3(2xxy5)求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy机动目录上页下页返回结束2)1(4)1)(3(xxxy3)1(2xy6）绘图(极大)(极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点11302)1(4)3(2xxy机动目录上页下页返回结束2无定义xy113)1,()1,1()3,1(),3(0xy049241例5.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y轴.2)求关键点y21,22xexy2122xe)1(2x得令0y;0x得令0y1x机动目录上页下页返回结束2100e21xyyy10)1,0(),1(3)判别曲线形态(极大)(拐点)(极大)(拐点)0limyx0y为水平渐近线5)作图4)求渐近线机动目录上页下页返回结束2100e21xyyy10)1,0(),1(2221xeyxyoBA21水平渐近线;垂直渐近线;内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2.函数图形的描绘机动目录上页下页返回结束思考与练习1.曲线)(1122xxeey(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:;111lim22xxxee2211lim0xxxeeD机动目录上页下页返回结束拐点为,凸区间是,),(21)1,(2121e2.曲线21xey的凹区间是,提示:)21(222xeyx),(2121),(21及渐近线.1y机动目录上页下页返回结束yox1)1,(2121e)1,(2121eP7513(2);P1662;5作业第七节目录上页下页返回结束备用题求笛卡儿叶形线yxayx333的渐近线.解:令y=tx,代入原方程得曲线的参数方程:x,133ttay3213tta,1tx时当因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1()1(312limtttttata所以笛卡儿叶形线有斜渐近线axy机动目录上页下页返回结束1t313tatx3213taty笛卡儿叶形线1t参数的几何意义:tant),()1,(42t图形在第四象限],(]0,1(43t图形在第二象限),0[),0[2t图形在第一象限点击图中任意点动画开始或暂停机动目录上页下页返回结束