2.3.1等差数列的前n项和公式(第一课时)

2.3等差数列前n项和(第一课时)问题1：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”S=1+2+3+…+98+99+100S=100+99+98+…+3+2+1∴2S=(1+100)×100=10100∴S=5050.高斯Gauss.C.F（1777~1855）德国著名数学家高斯的算法问题呈现传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题2:求和:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1)1(2nnS上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。2)1(nnS问题：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，求等差数列的前n项和Sn两式左右分别相加，得倒序相加S=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an))(21nnaanS1()12nnnaaS公式dnaan)1(11(1)22nnnSnad公式1()2nnnaaS一、等差数列的前n项和的公式：1(1)2nnnSnaddnaan)1(1公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1an1()2nnnaaS公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.1(1)2nnnSnad数列前n项和的意义我们把a1＋a2＋a3＋…＋an叫做数列｛an｝的前n项和，记作Sn这节课我们研究的问题是：（1）理解等差数列前n项和的推导过程；(2)在等差数列｛an｝中，a1，n，an，d，Sn；应用公式知三求二(3)由已知条件正确选择前n项和公式。2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（dnaan)1(1dnnnaSnn2)1（设n)2da(n2dd2)1n(nnaS121n若a1、d是确定的，那么2daB,2dA1上式可写成Sn=An2+Bn若A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次式且缺常数项。等差数列的前n项和公式的其它形式结构特征例:求相应的等差数列的nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda.32,7.0,5.14)3(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010SdnnnaSn2)11（2550)2(2)150501005050（Sdnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626S例1如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔。练习、计算：（1）1+2+3+…+n=________.（2）1+3+5+…+(2n-1)=________.（3）2+4+6+…+2n=__________.（4）.___________64979899100101例2等差数列10，6，2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是Sn，则a1=10，d=6(10)4,设Sn=54，根据等差数列前n项和公式，得5442)1(10nnn02762nnn19，n23(舍去)等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。例3：已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16项的和?解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18sn=（16/2）×18=144答:前16项的和为144。练习在等差数列{an}中，已知，求S7.变式、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式1(1)2nnnSnad可得111045310201901220adad146ad于是，所以2(1)4632nnnSnnn＝变式练习练习1、计算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n-nn2135+21n2解：…22nn2n135+212+4+6++2nn3解：原式＝……21nnn1212nnn3230提示：n=76法二：1212222nnnn练习2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a5=18，则S8等于（）A.18B.36C.54D.72D课堂小结1．等差数列前n项和的公式；2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；3.公式的应用(知三求二)。（两个）1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad1.教材P52A组1(3)(4),2,3,4,5,62.在等差数列{an}中，（1）已知a2+a5+a12+a15=36,求a16;（2）已知a6=20,求S11.3.在等差数列{an}中，(1)若a1+a2=p，a3+a4=q．求其前6项的和S6;(2)若a2+a4=p，a3+a5=q．求其前6项的和S6.