必修五解三角形总结

章末整合提升知识梳理1.正弦定理：Aasin=Bbsin=Ccsin=2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：Acosbc2cba222，Bcosac2cab222，Ccosab2bac222形式二：bc2acbAcos222，ac2bcaBcos222，ab2cbaCcos222，（角到边的转换）3.S△ABC=21absinC=21bcsinA=21acsinB,S△=))()((cSbSaSS=Sr(S=2cba,r为内切圆半径)=Rabc4(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2C=sin2BA,sin2C=cos2BA……在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及Aasin=Bbsin=Ccsin，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理Aasin=Bbsin，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由Aasin=Ccsin求出C，而通过Aasin=Bbsin求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90°A=90°A90°ab一解一解一解a=b无解无解一解ababsinA两解无解无解a=bsinA一解absinA无解8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．.（2011江西卷17）．（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，23a，tantan4,22ABC2sincossinBCA，求,AB及,bc例2．.（2009北京理）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab。（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.1．（2010上海文数）18.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2．（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（A）030（B）060（C）0120（D）01503.（2011全国二17）．（本小题满分10分）在ABC△中，5cos13B，4cos5C．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设ABC△的面积332ABCS△，求BC的长．专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用例3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若).(RkkBCBAACAB（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若kc求,2的值.例4．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．4.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，ABa，ACb，0ab，154ABCS，3,5ab，则BAC（）A.．30B．150C．0150D．30或01505．(2010年安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值．专题三：三角形面积例5．在ABC中，sincosAA22，AC2，3AB,求Atan的值和ABC的面积。6.（2011辽宁卷17）．（本小题满分12分）在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C．（Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，；（Ⅱ）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC△的面积．专题四：解三角形的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用．常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等．解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题．实际问题――→抽象概括解三角形问题――→推理演算三角形问题的解――→还原说明实际问题的解例5：如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．（Ⅰ）求cosCBE∠的值；（Ⅱ）求AE．例6：（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为075，030，于水面C处测得B点和D点的仰角均为060，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）7.如图3，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．图38．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得BCDBDCCDs，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．本章思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。2．三角学中的射影定理：在△ABC中，AcCabcoscos，…3．两内角与其正弦值：在△ABC中，BABAsinsin，…4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。答案：例题1解：由tantan422ABC得cottan422CC∴cossin224sincos22CCCC∴14sincos22CC∴1sin2C，又(0,)C∴566CC，或由2sincossinBCA得2sincossin()BBBC即sin()0BC∴BC6BC2()3ABC由正弦定理sinsinsinabcABC得1sin2232sin32BbcaA例2．.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且4,cos35BA，∴23,sin35CAA，∴231343sinsincossin32210CAAA.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin,sin510AC，又∵,33Bb，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴sin6sin5bAaB.∴△ABC的面积1163433693sin32251050SabC.1．解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos222c，所以角C为钝角2．【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得232322cbcbRR，所以cosA=2222+c-a322bbccbcbc=323322bcbcbc，所以A=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3.解：（Ⅰ）由5cos13B，得12sin13B，由4cos5C，得3sin5C．所以33sinsin()sincoscossin65ABCBCBC．······························5分（Ⅱ）由332ABCS△得133sin22ABACA，由（Ⅰ）知33sin65A，故65ABAC，············································································8分又sin20sin13ABBACABC，故2206513AB，132AB．所以sin11sin2ABABCC．······························································10分例3.解：（I）BcaBCBAAcbACABcos,cosBacAbcBCBAACABcoscos又BAABcossincossin即0cossincossinABBA0)sin(BABABAABC为等腰三角形.（II）由（I）知ba22cos2222cbcacbbcAbcACAB2c1k例4．解（1）因为25cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3ABAC得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcA（2）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，25a4.答案C5．思维突破：(1)根据同角三角函数关系，由cosA＝1213得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc＝156；直接求数量积AB→·AC→.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，代入已知条件c－b＝1及bc＝156，求a的值．解：由cosA＝1213，得sinA＝1－12132＝513.又12bcsinA＝30，∴bc＝156.(1)AB→·AC→＝bccosA＝156×1213＝144.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2·156·1－1213＝25.∴a＝5.例5．解法一：先解三角方程，求出角A的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A,4560,105.AA13tanta