1.53定积分的概念

1.5.3定积分的概念笔直的公路上甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0，你能比较两车的位置吗？情境切入求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xixD1lim()niniSfxx==D1()niiSfxx=D(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban-=11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb--一、定积分的定义11()()nnniiiibaSfxfnxx==-D=小矩形面积和=如果当n∞时，S无限的接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dx==ni10limf(xi)Dxi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy=S=baf(x)dx；按定积分的定义，有：(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为s=bav(t)dt。Oab()vvt=tv定积分的定义：1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即1.dxxf)(与badxxf)(的差别3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有==bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：-=abbadxxfdxxf)()(0)(=aadxxfdxxf)(是)(xf的全体原函数是函数badxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数注：2.当xfiniD=)(1x的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及xi点的取法无关。f(x)[a,b](2)定积分的几何意义：Oxyaby=f(x)baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当a=b时，有baf(x)dx=0。1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba当f(x)0时，由y=f(x)、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([-==-，dxxfba)(．aby=f(x)y=-f(x)dxxfSba)]([-=baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-S1()lim()ninibafxdxfnx=-=baaby=f(x)Oxy()ygx=探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?aby=f(x)Oxy1()baSfxdx=()ygx=12()()bbaaSSSfxdxgxdx=-=-2()baSgxdx=三:定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[ba=babadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kf=badx)x(fk定积分关于积分区间具有可加性=bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.Oxyaby=f(x)Ｃ=2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fbaf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。要点一定积分的概念及应用利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中，将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条理性更强．应注意的是，近似代替步骤中，在每个小区间[xi－1，xi]上对ξi的选取是任意的，为了计算方便，常把区间端点作为ξi.例2利用定积分的定义，计算12(3x＋2)dx的值．【思路启迪】将区间[1,2]等分为n个小区间，利用函数在每个小区间上的左端点值求出Sn，其极限即为所求．[解]令f(x)＝3x＋2.(1)分割:在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间[n＋i－1n，n＋in](i＝1,2，…，n)每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n(2)近似代替、求和:取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则Sn＝i＝1nf(n＋i－1n)·Δx＝i＝1n[＋i－n＋2]·1n＝i＝1n[－n2＋5n]＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限．12(3x＋2)dx＝limn→∞Sn＝limn→∞(132－32n)＝132.要点二定积分的几何意义及应用利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确的利用相关的几何知识求面积．不规则的图形常利用分割法求面积．注意分割点的准确确定．例2说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)012dx；(2)12xdx；(3)-111－x2dx.【思路启迪】利用定积分的几何意义表示出相应图形，图形的面积即为定积分的值．(1)012dx表示的是图(1)中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以012dx＝2.【解】(2)12xdx表示的是图(2)中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以12xdx＝32.(3-111－x2dx表示的是图(3)中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以-111－x2dx＝π2.成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22=-xdx变式：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf=--=0)()()(12200222=-==--AAdxxfdxxfdxxf2-22A1Axyf(x)=sinx1-1