专题：椭圆的离心率解法大全

1专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（ace或221abe）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e322，椭圆1422myx的离心率为21，则m[解析]当焦点在x轴上时，32124mm；当焦点在y轴上时，316214mmm，综上316m或33，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是534，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为[解析]由02222mnnmnnmn42nm，椭圆122nymx的离心率为225，已知)0.0(121nmnm则当mn取得最小值时，椭圆12222nymx的的离心率为236，设椭圆2222byax=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是21。二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在RtABC中，90A，1ACAB，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率36e2，如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,且901BDB,则椭圆的离心率为()[解析]eaccacbab221)(2153，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线2MF1与圆相切，则椭圆的离心率是13变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是134,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=3cc+3c=2a∴e=ca=3-1变式（1）：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=3-1变式（2）椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜=b2a｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴｜PF1｜｜F2F1｜=ba又∵b=a2-c2∴a2=5c2e=55变式(3):将上题中的条件“PF2∥AB”变换为“PO∥AB(O为坐标原点)”相似题：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=-1+52e=-1-52(舍去)变式(1):椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，e=-1+52,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。性质：（1）∠ABF=90°（2）假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式(2):椭圆12222byax(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e=215．提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得：22barab，但cr4，设椭圆）（0ba1byax2222的左、右焦点分别为21FF、，如果椭圆上存在点P，使90PFF21，求离心率e的取值范围。解：设0,cF,0,cF,y,xP21法1：利用椭圆范围。3由PFPF21得222cyx，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得2222222babacax2222)(eaca。由椭圆的性质知22ax0，得），以122[e。附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似）法2：判别式法。由椭圆定义知||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224，又因为9021PFF，可得222122214||||||cFFPFPF，则)(2||||2221caPFPF22b，1PF，2PF是方程02222bazz的两个根，则22210)(84222222eacecaa解法3：正弦定理设记PFFPFF1221，，由正弦定理有||sinsin||||90sin||sin||sin||21212121FFPFPFFFPFPF又因为cFFaPFPF2||2||||2121，，且90则)4sin(21cossin1sinsin1ace204344则1)4sin(22，2)4sin(21所以122e解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF||||平方后得42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc||||||||(||||)||得ca2212所以有，）e[221解法6：巧用图形的几何特性由FPF1290，知点P在以||FFc122为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有cbcbac2222变式(1)：圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求椭圆的离心率e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：｜F1F2｜sinF1PF2=｜F1P｜sinF1F2P212sinFPFPF根据和比性质：4xyA1B2A2OTM｜F1F2｜sinF1PF2=｜F1P｜+｜PF2｜sinF1F2P+sinPF1F2变形得：｜F1F2｜｜PF2｜+｜F1P｜=sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F2ac22=e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e=sin90°sin75°+sin15°=63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F2变式(2)：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求椭圆离心率e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe=sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F2=sin60°sinα+sin(120°-α)=12sin(α+30°)≥12∴12≤e1变式(3)：过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率e的值解析：因为2(,)bPca，再由1260FPF有232,baa从而得33cea变式(4)：若BA,为椭圆)0(12222babyax的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使0120AQB，求此椭圆离心率的最小值。{136e}变式(5)：8、椭圆012222babyax上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若BFAF，设ABF，且4,12，则椭圆的离心率的取值范围为解析：设F为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形FAFB为平行四边形且为矩形，cAB2，cos2,sin2cBFcAF，acc2cos2sin2，所以4sin21cossin1ace，由4,12得3622e。6，如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.5F2MF1OMPF2F1O直线21BA的方程为1byax，直线FB1的方程为1bycx，两式联立得T的坐标cacabcaac)(,2，所以中点M的坐标为)(2)(,cacabcaac，因为点M在椭圆上，代人方程得2224)(4cacac则03102ee1,0e所以275e7，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，满足→MF1·→MF2=0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？分析：∵→MF1·→MF2=0∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：∴cba2=b2+c22c2∴0e22如图所示,画图可知点M的轨迹是以12FF为直径的圆，则它在椭圆内部,故22222122cbcbacee222,20e10e28，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L：x=a2c上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(a2c,y0)M(a2c-c2,y02)既(b22c,y02)则→PF1=-(a2c+c,y0)→MF2=-(b22c-c,y02)→PF1·→MF2=0(a2c+c,y0)·(b22c-c,y02)=0(a2c+c)·(b22c-c)+y022=0a2-3c2≤0∴33≤e1解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c｜PF2｜≥a2c-c则2c≥a2c-c3c≥a2c3c2≥a2则33≤e1总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。9，如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是13解：以AD所在直线为X轴，AD中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为r，则椭圆的半焦距rc，易知ΔAOF为等边三角形，∴F（)23,2cc，代入椭圆方程12222byax中，得：14342222bcac，BCFEADBCFEADFEAD6∴4322222cacac，即：411322ee413222eee，,13,324,048),1(43)1(2242222eeeeeeee又13,10ee法二：如图，连结AE，易知090AED，设cEDcEAcAD,3,2则，由椭圆定义，有：aEDEA2，ac2)13(，∴13132ace10，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求椭圆的离心率e的值解：设｜BF1｜=m则｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：a2–c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c)两式相除：2a-c2a+c