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当前位置:首页 > 机械/制造/汽车 > 机械/模具设计 > 12.8二阶常系数齐次线性微分方程
一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn二阶常系数齐次线性方程的标准形式0qyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法0qyypy,rxey设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程特征根,2422,1qppr特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想有特解rxey有两个不相等的实根特征根为,2421qppr,2422qppr两个线性无关的特解,11xrey,22xrey得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy)0(有两个相等的实根特征根为,221prr一特解为,11xrey,)(12xrexuy设另一特解为代入原方程并化简,,,将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy)0(有一对共轭复根特征根为,1jr,2jr,)(1xjey,)(2xjey重新组合)(21211yyy,cosxex)(21212yyjy,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx)0(由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.方法步骤①写出特征方程02qprr②求出特征根21,rr③按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解特征根齐通解)(21实rrxrxrececY212121rrxrexccY1)(21jr2,1)sincos(21xcxceYx例1求通解032yyy解特征方程为0322rr特征根为3,121rr齐通解为xxececY321例2.044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例3.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得,2121jr,故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例4设圆柱形浮筒,直径为0.5米,铅直放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒在水中振动的周期为2秒,求浮筒的质量解设浮筒的质量为m平衡时圆柱浸入水中深度为l浮力glR2重力mgmgglR2设t时刻浮筒上升了x米此时浮力gxlR)(2重力mg由Newton第二定律mggxlRdtxdm)(222glRgxlR22)(gxR20222xmgRdtxd记mgR220222xdtxdtctcxsincos21T2)(25.1952kggRm3310mkg28.9smgmR25.014.3三、n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(11101110注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数.nnyCyCyCy2211实重根复单根复重根实单根几种情况每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为例50)4(yy解特征方程为014r解得jrr4,32,1,1故所求通解为xcxcececyxxsincos4321例6.022)3()4()5(的通解求方程yyyyyy解特征方程为,01222345rrrrr0)1)(1(22rr,0)1)(1(22rr特征根为,,,154321jrrjrrr故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程;(2)求出特征根;(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.0qyypy02qprr特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx思考题求微分方程的通解.yyyyyln22思考题解答,0y,ln22yyyyy,lnyyy,lnyyyx,lnlnyy令yzln则,0zz特征根1通解xxeCeCz21.ln21xxeCeCy练习题一、求下列微分方程的通解:1、04yy;2、02520422xdtdxdtxd;3、0136yyy;4、0365)4(yyy.二、下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、0,2,04400xxyyyyy;2、3,0,013400xxyyyyy.三、求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使3,2,,1xxxeee都是它的解.四、设圆柱形浮筒,直径为m5.0,铅直放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的s2周期为,求浮筒的质量.练习题答案一、1、xeCCy421;2、tetCCx2521)(;3、)2sin2cos(213xCxCeyx;4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221.二、1、)2(2xeyx;2、xeyx3sin2.三、0yy.(提示:为两个xe,1线性无关的解)四、195Mkg.
本文标题:12.8二阶常系数齐次线性微分方程
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