选修3课程的作用和定位

第四章选修3课程的作用和定位第一节选修3系列课程的作用对于系列3课程的定位和作用，“标准”中已讲得很清楚：“系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置的，所涉的内容都是数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想。有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法。这些专题的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识。”“专题力求深入浅出、通俗易懂，进一步提高学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力，让学生掌握和体会一些重要的概念、结论和思想方法，体会数学的作用，发展应用意识。”“系列3所涉及的内容都是基础性的数学内容，不仅应鼓励那些希望在理工、经济等方面发展的学生积极选修，同时也应鼓励那些希望在人文、社会科学方面发展的学生选修这些课程。”另外，《标准》对系列3课程建设、教学方式、评价方式等，都给出了具体的说明，这里就不一一重复了。在系列3教学中应该注意的几个问题：系列3是基础。系列3不是学习大学数学的预备课程，也不是为将来准备进入数学系学习的学生做准备。在系列3的教学中，应该把重点放在介绍基本的数学思想。在系列3的教学中，要不断地开发资源，把难的东西变容易，用具体来反映一般，用直观来反映抽象。系列3课程是不进入高考的课程，但是学习这部分课程对于提高数学素养、培养学生解决问题的能力和激发学生学习数学的兴趣是十分有用的。各个学校可以按照各自的情况有选择性地逐步开设这些专题。下面我们按专题介绍：背景，知识结构和内容定位，重、难点定位，教学要求，参考文献等。第二节选修3各专题的定位和教学要求2.1数学史选讲一、背景每一个学生从小学起，直到大学中的理工农医等学科，乃至不少专业的研究生阶段，都要学习数学，近年来有一种新的趋势，就是人文社会科学的学生也需要继续学习数学，为什么我们的学生要学那么长时间的数学？数学为什么这么重要？这是由数学本身的特点、作用、意义所决定的。例如，学习数学有利于培养我们的思维能力，如：推理论证的能力、空间想象能力、计算能力、抽象归纳能力、数据处理能力、以及发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力等等；此外，还会有利于提高我们解决日常生活中遇到的各种实际问题，等等。开设本专题还有一个十分重要的目的，就是希望能从数学发展的历史来认识数学。每一门学科都有自己的历史，对于数学来说，更是源远流长，她与人类的文明共同发展，本专题的学习将帮助学生从历史的角度，了解数学在人类发展史上所起的不可估量的意义，了解数学文化在人类文化中的地位，了解数学与其他学科的历史渊源和联系，了解数学在人们日常生活中的作用，了解数学发展中重大的事件，了解为数学发展呕心沥血的杰出人物，等等。我们希望通过开设”数学史选讲”开拓学生的视野，提高学生对数学的价值、意义、作用的认识，激发学生学习数学的兴趣和动力。这对于将来在各行各业工作的学生来说，都会起到积极的作用。学习”数学史选讲”这门课程，不仅可以开拓自己的视野，提高学习数学的兴趣，而且它将会对日常的数学学习起到积极的作用，对于一些重要的数学概念，通过数学史的学习加深对它们的认识和理解。”数学史选讲”是不进入高考的，我们希望教师和学生不要以过分“功利”的眼光来看待这件事情，应该值得思考的地方是，一旦提高了学生学习数学的兴趣，增强了学习数学的动力，了解了学习数学的作用，那么他们的潜在能量是不可估量的。二、知识结构和内容定位1．知识结构框图在“数学史选讲”中，选取了数学发展史上重要的并且和高中数学教学紧密联系的内容，不同的教材有不同的选择，例如，可以采取以下的选择：第一讲，数学发展的几个重要时期第二讲，代数学的发展第三讲，几何学的发展第四讲，微积分——分析的发展第五讲，无限——集合论——数理逻辑——计算机科学第六讲，名题赏析。我们可以用下列框图具体表示2．内容定位1）在高中课程的“数学史选讲”中，一定要结合高中学生的认知水平和知识基础。2）在高中课程的“数学史选讲”中，不强调数学史的体系严密，可以从中选择几个能够引起中学生兴趣的专题。3）在高中课程的“数学史选讲”中，选材一定要生动活泼。三、教学要求“数学史选讲”专题不是系统地讲授数学史。主要是结合中、小学有关的数学内容，例如，对于一些重要的数学概念，可以通过数学史的学习加深对它们的认识和理解。也可以通过介绍相关的史料，或数学发展的梗概，提高学生对数学的价值、意义、作用的认识，激发学生学习数学的兴趣和动力。也可以结合中学数学内容较系统地介绍一些专题。如：数学发展概论、几何发展史（欧式几何、非欧几何、分形几何等）、代数发展史（数与符号、方程等）、微积分等。还可以介绍一些重要的数学问题，如：费马大定理、欧拉公式、集合的势等，通过这些问题使学生了解数学的发展，提高学生学习数学的兴趣。在开设“数学史选讲”的过程中，实验区大体有两种不同的讲授方式，一种是集中教学；另一种是把“数学史选讲”的各个专题插入到日常教学中，例如，在讲授“立体几何初步”时，可以介绍几何发展史，在讲授“平面向量”时，可以介绍运算在数学发展中的作用，在讲授“导数及其应用”时，可以介绍微积分发展史以及近代分析学的一些情况，等等。从实验区的情况来看，“数学史选讲”是一个受学生欢迎的专题，教师在教学中应认识到：本专题可以帮助教师养成一个不断开发数学资源的习惯，使得日常教学更加丰富、生动和深刻；本专题可以更好的把握日常教学中某些知识点的本质，以及他们在整个数学中的位置；教师应在日常教学中，通过对每一部分数学史内容的介绍，引起学生的兴趣。在本专题的教学中，要引导学生写好读书报告，这是提高数学素养的重要载体，希望老师在这方面要下功夫。建议教师在条件允许的情况下，积极创造条件，开设”数学史选讲”这一课程，把他作为提升个人专业素养的一个重要渠道。五、文献参考[1]李文林：数学史概论，高等教育出版社，2002[2]李文林：文明之光——图说数学史，山东教育出版社，2005[3]张顺燕：数学的源与流，高等教育出版社，2000[4]张顺燕：数学的美与理，北京大学出版社，2004[5]M.克莱因：古今数学思想，张理京等译，上海科学技术出版社，1979[6]A.亚历山大洛夫等，数学——它的内容、方法和意义，孙小礼等译，1958[7]M.克莱因：现代世界中的数学，齐民友等译，上海教育出版社，20042.2信息安全与密码一、背景进入21世纪，“信息”是我们听到或看到最多的词汇之一。我们天天都在与信息打交道，比如收发信件、听报告、采集数据、看照片、影视等等，交流信息的方式也是多种多样的，如当面交谈、电话交流、发送电报、手语、旗语等．现在还可以用电子邮件、可视电话等方式来交流和传递信息．有些信息是公开的，大家都可以知道．但是，也有一些信息是需要保密的，比如银行里的存款，仅仅希望自己人知道，不希望让“外人”知道。政治、军事、外交、金融等活动中，信息安全更是一件特别重要的事情.为了保证信息的安全，在信息传递的过程中，经常要使用密码，进行保密通信。通过本专题的学习，我们将了解信息安全的基本原理、基本方法以及在社会发展中的重要意义，并了解数学在信息安全中不可替代的作用。二、知识结构和内容定位1．知识结构框图2．内容定位在本专题中，以下几点是需要特别注意的。1）认识映射（函数）在信息安全中的作用。当甲、乙双方传递信息时，为了不使信息被第三者知道，通常的作法是用密码对信息加密。比如，5是一个信息，甲要把5告诉乙，甲在发送信息之前，先将5加3，然后将8传输给乙。乙收到加密后的信息8，再用8减去3就可以获取原来的信息。加3是加密的过程，减3是解密的过程，加3和减3是甲、乙事先约定好的，这个过程可以用图示清晰地表示出来。在解决这件事情的过程中，加密和解密是最重要的。自古以来，人们发明了许多加密和解密的方法。由于人们不断地寻求破译加密信息的方法，所以对密码的信息安全性能的要求不断提高。加密和解密的方法在不断地发展。从上图不难看出，加密的过程其实就是映射（函数）作用的过程。加密就是把函数作用在信息上，得到函数值（加密的信息）的过程；解密的过程其实就是函数反作用的过程，就是把函数值（加密的信息）还原成自变量的值（原来的信息）的过程。不难看出，‘加密函数’和‘解密函数’是互为反函数的，显然，‘加密函数’是一个一一对应的映射，这样就可以保证“加得上去”也能“解得下来”。人们希望‘加密函数’要简单，即加密要容易；解密时，对知道密码的人要容易；对不知道密码的人要很困难，甚至无法解密。要得到这样的‘加密函数’和‘解密函数’，靠的是数学中函数的思想。2）单向函数与公开密钥原理由上可知，加密函数和解密函数是互为反函数的，即，加密函数是一个一一对应的映射，记作f，它存在反函数f-1，显然有：f-1（f(x)）=x。如果能找到这样一种加密函数f（加密密码），即使把它公开，人们也无法在我们希望的有限时间内确定它的反函数f-1（解密密码）。也就是说，如果我们把加密函数公开，人们也无法找到解密函数来破解密码，我们把这样的加密函数称为单向函数。在一般的密码体制中，通讯双方要记住彼此的加密密码和解密密码。例如，n=100个单位要相互传输信息，则每个单位都需要记住99对加密、解密的密码。整个系统需要2100c（约等于5000）对加密、解密密码。而且还常常需要更换密码，以加强保密功能。如果单位的个数n更大，情况就更复杂。有了单向函数就可以把加密函数（密码）公开，所有公开的加密函数编成一个加密函数（密码）本，供人们查阅。对于100个单位只需要公开100个加密函数（密码），而每一个单位只需要记住一个解密函数（密码）就可以了。我们把这种体制称为公开密钥体制。公开密钥系统的具体工作原理如下：用户Ａ需要把信息ｘ发给用户B，操作程序如下：i．用户Ａ在公开的加密密码本上查找到B的加密密钥f；ii．用户A用f对信息ｘ进行加密，得到ｙ＝f（ｘ），并将密文ｙ发给用户B；iii．用户B收到密文ｙ，用自己的解密密钥f-1进行解密，得到f-1（ｙ）＝f-1（f（ｘ））＝ｘ。这样，用户B就收到了用户Ａ发来的信息ｘ。其他人即使知道密文ｙ是发给用户B的，也能查到B的加密密钥f，但是由于从f求f-1非常困难，在需要的保密时间内是不能把ｙ恢复成明文ｘ的。采用这种公开密钥体制，大大减少了每个单位保存的密钥数量，从而可以减少很多失误。保密通信体系的信息安全水平因此大大提高。3）在学习本专题的过程中，需要掌握常见的密码，例如，恺撒码、转置码、流密码、RSA公钥体制、离散对数公钥方案等，重要的是学会运用这些密码，但是，要想弄懂这些密码的数学原理是比较困难的事情，需用到数论的有关知识，对一般的学生，重要的是理解信息安全的基本原理。有兴趣的同学可以进一步搞清楚这些数学原理，对于提高他们的数学素养是非常好的一种训练。三、重、难点本专题的重、难点是理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。四、教学要求1）在本专题的教学中，应该把理解保密通信的基本形式和公开密钥原理放在重要的位置上，不要把过多的精力放在数学推导上，可以针对学生的不同情况提出不同的要求，对于感兴趣的同学可以引导他们掌握数学原理。2）在本专题的教学中，可以设置一些活动，通过操作、实践来帮助学生理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。3）在本专题的教学中，对于数论的知识一定要把握好“度”，能掌握的同学就掌握，不必对全体学生作统一要求。4）在本专题的教学中，要引导学生写好读书报告，这是提高数学素养的重要手段，希望老师在这方面要下功夫。五、文献参考[1]闵嗣鹤严士健：初等数论（第三版），高等教育出版社，2003[2]万哲先刘木兰：谈谈密码，人民教育出版社，1985[3]冯克勤：初等数论及应用，北京师范大学出版社，2003[4]COMAP：数学的原理与实践，申大维等译，高等教育出版社和施普林格出版社，1998[5]谈祥柏：编码纵横谈，上海教育出版社，1999年2.3球面上的几何一、背景我们生活在地球上，地球是个球