2012高中数学 第2章2.2.1椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修2-1

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．课前自主学案温故夯基1．圆心为O，半径为r的圆上的点M满足集合P＝{M||MO|＝r}，其中r0.2．求曲线方程的基本方法有：_________，_________，__________定义法直接法代入法1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_________________的点的轨迹叫做椭圆，点__________叫做椭圆的焦点，__________叫做椭圆的焦距．常数(大于|F1F2|)F1，F2|F1F2|知新益能2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程______________________________焦点______________________a、b、c的关系c2＝a2－b2x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)(±c,0)(0，±c)平面内动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当2a|F1F2|时呢？提示：当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，不表示任何轨迹．问题探究课堂互动讲练求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件．考点突破求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．【思路点拨】求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a和b即可．例1【解】(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∴2a＝5＋42＋5－42＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴4a2＋0b2＝10a2＋1b2＝1⇒a2＝4，b2＝1.故所求椭圆的方程为y24＋x2＝1.变式训练1根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和B(12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．解：(1)设所求椭圆的方程为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．∵椭圆经过两点A(0,2)、B(12，3)，∴0m＋4n＝1，14m＋3n＝1，解得m＝1，n＝4.∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x2m＋y2m＋5＝1(m＞0)．又椭圆经过点(2，－3)，则有4m＋9m＋5＝1.解得m＝10或m＝－2(舍去)．∴所求椭圆的方程为x210＋y215＝1.用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．利用椭圆的定义求轨迹方程例2【思路点拨】确定M与A，B的关系――→圆的性质|MA|＋|MB|＝8――→坐标化方程【解】设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r，∴|MA|＋|MB|＝8，且8|AB|＝6，∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M的轨迹方程是x216＋y27＝1.【名师点评】(1)本例用定义法求轨迹方程．(2)巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA|＋|MB|＝8，而且8|AB|＝6，从而判断动点M的轨迹是椭圆．变式训练2已知动圆M和定圆C1：x2＋(y－3)2＝64内切，而和定圆C2：x2＋(y＋3)2＝4外切．求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r，圆心M(x，y)，两定圆圆心C1(0,3)，C2(0，－3)，半径r1＝8，r2＝2.则|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2.∴|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10.又|C1C2|＝6，∴动圆圆心M的轨迹是椭圆，且焦点为C1(0,3)，C2(0，－3)，且2a＝10，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴动圆圆心M的轨迹方程是y225＋x216＝1.椭圆定义的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．已知P为椭圆x216＋y29＝1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积S.例3【思路点拨】解答本题可先利用a，b，c三者关系求出|F1F2|，再利用定义及余弦定理求出|PF1|、|PF2|，最后求出S△F1PF2.【解】在椭圆x216＋y29＝1中，a＝4，b＝3，所以c＝7.因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝8，①在△PF1F2中，∵∠F1PF2＝60°，根据余弦定理可得：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2＝28，②互动探究3本例中其他条件不变，∠F1PF2＝60°改为∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．解：因x216＋y29＝1，∴a＝4，b＝3，c＝7.点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝8.在△PF1F2中，∵∠F1PF2＝90°，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，∴28＝64－2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝18.∴＝12|PF1||PF2|＝9.12FPFS1．椭圆的定义中只有当两定点间的距离之和2a|F1F2|时，轨迹才是椭圆；2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；2a|F1F2|时没有轨迹．2．求椭圆标准方程时应注意的问题(1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2、b2的具体数值，常用待定系数法．方法感悟(2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0且m≠n)，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中较为方便．