2012高中数学_3-3-1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题精品课件同步导学_新人教A版必修

•3．3二元一次不等式(组)•与简单的线性规划问题•3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域•1.了解二元一次不等式的几何意义．•2.会画二元一次不等式表示的平面区域．•3.能用平面区域表示二元一次不等式组．•1.能够准确判断二元一次不等式表示的平面区域，并画出平面区域是本课考查的热点．•2.画二元一次不等式组表示的平面区域是本课热点．•3.多与后面知识结合，以选择题、填空题形式考查．•1．以二元一次方程Ax＋By＋C＝0的解为坐标的点，在直线上的所有点的坐标．在线外的点的坐标与方程有何关系呢？•2．点A(1,1)，B(2,1)，C(－1,0)与直线x－y＝0位置关系是什么？•3．我们知道x＋y－1＝0表示直线，而x2＋(y－1)2＝3表示圆，试考虑一下，x＋y－1＞0表示何种图形？在直线上适合方程•1．二元一次不等式的概念•含有未知数，并且未知数的次数是的不等式叫做二元一次不等式．•2．二元一次不等式表示平面区域•在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线某一侧所有点组成的平面区域，把直线画出以表示区域不包括边界．•不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成．两个一次Ax＋By＋C＝0虚线实线•3．二元一次不等式表示平面区域的确定•(1)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都．•(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由的符号可以判定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．•4．二元一次不等式组•由几个组成的不等式组称为二元一次不等式组．相同Ax0＋By0＋C二元一次不等式•5．二元一次不等式组表示平面区域•每一个二元一次不等式所表示的平面区域的，就是不等式组所表示的区域．公共部分•1．不等式2x＋y－5＞0表示的平面区域在直线2x＋y－5＝0的()•A．右上方B．右下方•C．左上方D．左下方•解析：先作出边界2x＋y－5＝0，因为这条直线上的点都不满足2x＋y－5＞0，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入2x＋y－5.因为2×0＋0－5＝－5＜0，所以原点•(0,0)不在2x＋y－5＞0表示的平面区域内，不等式2x＋y－5＞0表示的区域如右图所示(阴影部分)，即在直线2x＋y－5＝0的右上方．故选A.•答案：A•解析：分别将P1、P2、P3点坐标代入3x＋2y－1，比较发现只有3×0＋2×0－1＝－10，故P1点不在此平面区域内，P2、P3均在此平面区域内．•答案：C2．已知点P1(0,0)，P2(1,1)，P313，0，则在3x＋2y－1≥0表示的平面区域内的点是()A．P1、P2B．P1、P3C．P2、P3D．P2•3．已知点(a,2a－1)，既在直线y＝3x－6的左上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围为______________．•解析：∵(a,2a－1)在y＝3x－6的上方，•∴3a－6－(2a－1)0，即a5，又(a,2a－1)在y轴右侧，∴a0，故0a5.•答案：(0,5)4.画出不等式组x＋y2，x－2y≥3表示的平面区域．解析：如图所示，阴影部分为不等式组x＋y2，x－2y≥3所表示的平面区域．•画出下列不等式表示的平面区域：•(1)x＋2y－4＞0；(2)y≥x＋3.•画二元一次不等式表示的平面区域的一般步骤为：第一步：“直线定界”，即画出边界直线Ax＋By＋C＝0，要注意是虚线还是实线；•第二步：“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就可以确定出所给不等式表示的平面区域．•[解题过程](1)先作出边界x＋2y－4＝0，因为这条直线上的点都不满足x＋2y－4＞0，所以画出虚线．•取原点(0,0)代入x＋2y－4.因为0＋2×0－4＝－4＜0，所以原点(0,0)，不在x＋2y－4＞0表示的平面区域内，不等式x＋2y－4＞0表示的平面区域如图(1)所示(阴影部分)．•(2)将y≥x＋3变形为x－y＋3≤0，先作出边界x－y＋3＝0，因为这条直线上的点都满足x－y＋3≤0，所以画成实线．•取原点(0,0)，代入x－y＋3.因为0－0＋3＝3＞0，所以原点(0,0)不在x－y＋3≤0表示的平面区域内，不等式x－y＋3≤0表示的平面区域如图(2)所示(阴影部分)．•[题后感悟](1)y＝kx＋b表示的直线将平面分成两部分，即y＞kx＋b表示直线上方的平面区域，y＜kx＋b表示直线下方的平面区域，而直线y＝kx＋b是这两个区域的分界线．•(2)一般地，若Ax＋By＋C＞0，则当B＞0时，表示直线Ax＋By＋C＝0上方的平面区域；当B＜0时，表示直线Ax＋By＋C＝0下方的平面区域．若Ax＋By＋C＜0，与上述情况相反．•1.画出下面二元一次不等式表示的平面区域：•(1)2x－y－6≥0；(2)y2x.•解析：(1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，•取原点O(0,0)代入2x－y－6中，•∵2×0－0－6＝－60，•∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－60，•故直线2x－y－6＝0右下方的区域就是2x－y－60，•因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)．•(2)画出直线y－2x＝0，取点(1,0)代入y－2x＝0•∵F(1,0)＝0－2×1＝－20，•∴y－2x0(即y2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．•由题目可获取以下主要信息：•①有一个不等式不含等号；•②所求区域为三个平面区域的公共部分．•解答本题可分别画出三个不等式所表示的平面区域，再找它们的公共部分．•[解题过程]不等式x＋y≤5表示直线x＋y＝5及其左下方的区域，•不等式x－2y＞3表示直线x－2y＝3右下方区域，•不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及其右上方区域，•故不等式组表示的平面区域如图所示．•[题后感悟](1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．•(2)作图时，每条直线要画准确，尤其要交代清楚两条直线的相对位置关系，如在坐标轴上的点、倾斜角的大小等．2.画出不等式组x3，2y≥x，3x＋2y≥6，3yx＋9.表示的平面区域．•解析：不等式x3表示直线x＝3左侧点的集合．•不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合．•不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．•不等式3yx＋9，即x－3y＋90表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．•综上可得：不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分．(1)画出不等式组x＋2y－1≥02x＋y－5≤0y≤x＋2所表示的平面区域，并求其面积．(2)求不等式组y≤2|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．•本题的两个小题的解题关键在于正确地描绘出边界直线，然后根据给出的不等式，判断出所表示的平面区域．[规范作答](1)如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域.2分由x－y＋2＝0，2x＋y－5＝0，得A(1,3)．同理得B(－1,1)，C(3，－1)．∴AC＝22＋42＝25，而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为d＝|－2＋1－5|5＝65，4分∴S△ABC＝12AC·d＝12×25×65＝6.6分(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组：①x≥0，y≥x，y≤x＋1，y≤2，或②x≤0，y≥－x，y≤－x＋1，y≤2.8分上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S＝12×4×2－12×2×1＝3.12分•[题后感悟]求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形然后求解．•解析：不等式x＋2y≤20表示直线x＋2y＝20上及左下方的点的集合，不等式2x＋y－16≤0表示直线2x＋y－16＝03.求不等式组x＋2y≤202x＋y－16≤0x≥0y≥0表示的平面区域的面积．上及左下方的点的集合，x≥0表示y轴及其右方的点的集合，y≥0表示x轴及其上方的点的集合，所以不等式组x＋2y≤202x＋y－16≤0x≥0y≥0所表示的平面区域如图所示．可求得两直线x＋2y＝20与2x＋y＝16交于点(4,8)．∴S＝10＋82×4＋12×8×(8－4)＝52.•投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．•先将已知数据列成表，如下所示：•然后根据此表设未知数，列出限制条件，最后作图即可．消耗量产品资金(百万元)场地(百平方米)A产品(百吨)22B产品(百米)31[解题过程]设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，则2x＋3y≤142x＋y≤9x≥0y≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．•[题后感悟]用平面区域来表示实际问题中相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要选取起关键作用并与其他量关联较多的两个量，用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中的限制条件以及问题中所有量均有实际意义的条件写出所有的不等式，把由这些不等式组成的不等式组用平面区域表示出来即可．注意在实际问题中列出不等式组时，必须考虑到所有的限制条件，不能遗漏任何一个．•4.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解析：设生产甲产品xt、乙产品yt，则10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0，生产甲、乙两种产品的取值范围如图(阴影部分)所示．•1．判定二元一次不等式表示的平面区域•判定二元一次不等式表示的平面区域的常用方法是以线定界，以点(原点)定域(以Ax＋By＋C0为例)．•(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．•(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点等．•2．画平面区域的步骤•(1)画线——画出不等式所反应的方程所表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则，画成虚线)；•(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；•(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式表示的平面区域．•俗称“线定界，点定域”．•◎画出不等式(x－y)(x＋2y－2)0所表示的平面区域．【错解一】原不等式转化为x－y0，x＋2y－20，∵x－y0表示直线x－y＝0的右下方，x＋2y－20表示直线x＋2y－2＝0的右上方．∴(x－y)(x＋2y－2)0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．【错解二】原不等式等价转化为x－y0x＋2y－20或x－y0x＋2y－20，∵x－y0，x＋2y－20表示直线x－y＝0的右下方，x＋2y－2＝