2007数学物理方法B卷答案及评分标准

第1页共6页南昌大学2006～2007学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6029(B)卷答案及评分标准课程编号：H55020190课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级05物理、应物与光信息姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分42508100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共42分)得分评阅人1.复数1z的指数式为ie2.dxxx)5(1819225。3.复数)21/()1(iiz可简化为(-1+3i)/5。4.二维拉普拉斯方程0u在xy平面直角坐标系中的表达式为0//2222yuxu。5.若复变函数),(),()(yxivyxuzf可导，必满足柯西－黎曼条件，这个条件的数学表达式为yvxu//、xvyu//6.在1z的圆内，函数11)(zzf的泰勒级数展开为______________)1(2zz7.已知1n，l为任一回路，则lndzz)(0。第2页共6页8.拉普拉斯变换]1[tL)0(Re/1/12ppp。9.数学物理方程定解问题的适定性是指___解是存在的、唯一的和稳定的_____。10.一根两端(左端为坐标原点而右端lx）固定的弦，用手在离弦左端三分之一处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移),(txu的初始条件为0)0,(u;)3/(,2/)(3)0,()3/0(,/3)0,(txlxllxlhxulxlhxxu和。11.偏微分方程01622xyyuxuuuuyxyyxyxx的类型为椭圆型。12.若解析函数)(zf的实部为22yx，则其虚部为B)，其中C为常数。A)Cxy2B)Cxy2C)Cyx22D)Cyx2213.复变函数532()4zifzzz有D)。A)两个单极点和一个三阶极点B)一个单极点，一个可去极点和一个三阶极点C)两个单极点和一个二阶极点D)一个单极点和一个三阶极点14.判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。（1）复变函数)(zf在区域内解析和可导等价。（√）（2）012yxyxxyuuxuxyuu是二阶非齐次的线性偏微分方程。（×）（3）洛朗级数中0zz的负幂项系数是某复变函数在点0z的留数。（×）二、求解题(每小题10分，共50分)得分评阅人说明：（1）需给出必要的文字说明和演算过程。（2）本题第5、6、7小题按专业只做其中一题，注意：a.物理学与应用物理学专业考生只能在第5、6题中任选一题完成；b.光信息专业考生则必须完成第7题。第3页共6页1.用留数定理计算积分3||2)2)(4(zzzdz。解：被积函数2)2)(4(1)(zzzf在积分围线内只有一个两阶极点2z。---(3分)其留数为4141lim)()2()!12(1lim)2(Res222zdzdzfzdzdfzz---(4分)根据留数定理得ifizzdzz2)2(Res2)2)(4(3||2---(3分)2.解常微分方程初值问题0)0(')0(,14322yyydtdydtyd。注：可使用拉普拉斯变换，或其它任何方法。解：拉普拉斯变换得ppypyppyp/1)(4)(3)(2---(3分)所以ppppppppppy41115141201)1)(4(1)43(1)(2---(4分)逆变换得4151201)(4tteety---(3分)第4页共6页3.设)(xX满足方程0XX和边界条件0)()0(lXX，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。解：可分为三种情况讨论：1)0，解为xxeCeCxX21)(，由0)0(X得21CC，由0)('lX得0)(1lleeC，得021CC，得到平庸解0)(xX，显然没有意义。----------------(3分)2)0，解为21)(CxCxX，代入边界条件得021CC，于是0)(xX仍然没有意义。----------------(2分)3)0，解为.sincos)(21xCxCxX,代入边界条件得.0cos,021lCCa)当的取值使得0cosl时，必有02C，这和上两种情况一样没有意义。b)当的取值使得0cosl时，2C不必为零，这种是有意义的情况。此时由0cosl得到本征值:).,3,2,1,0(4)12()21(222nlnnl此时，本征解为.2)12(sin)(2xlnCxX----------------(5分)4.试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程0xxttuu，初始条件为xxuutttcos,000。解：若方程02xxttuau的初始条件为)(|),(|00xuxuttt，则其解为daatxatxtxuatxatx)(21)(21)(21),(，此即达朗贝尔公式。---------------(4分)本题中，1a，0)(x，xxxcos)(，则txtxtxtxtxtxdddtxutxtxtxtxtxtxtxtxcos21cos21sin21sin21sin21sin21sin21cos21),(----------------(6分)第5页共6页注意：以下5、6、7小题按专业只做一题，物理学与应用物理学专业的考生只能从5和6两小题中任选一题完成，光信息专业的考生则必须完成第7小题。我是物理学或应用物理学专业的考生，选做题。5.用留数定理计算实积分20sin2xdx。解：做变换izdzdxzzix),(21sin1,原积分化为1||2142zizzdzI-----(4分)由0142izz得两个根iziz)32(,)32(21。但在积分围线1||z内，只有点1z是被积函数)14/(1)(2izzzf的单极点。-----(2分))(zf在点1z的留数为)32/(1)/(1)()(lim)(Res21111izzzfzzzfzz-----(2分)根据留数定理得3/2)(Re221zsfiI-----(2分)6.解偏微分方程（常数,a均为正数）0:0;cos2txxttuuttuau。解：做未知函数变换将方程齐次化。令2/costvu，代入方程和初始条件得02xxttvav；2/1:0vt，0tv------(4分)由达朗贝尔公式得222/12/)/1/1(),(txv------(4分)最后2/)cos1(tu------(2分)7.已知l阶勒让德多项式)(xPl的表达式为lllllxdxdlxP)1(!21)(2计算dxxPxP)()(2110。注意：1!0。解：由已知可求得1)(0xP---(2分)以及1321)(22xxP---(3分)所以0)(21)13(21)()(|1131122110xxdxxdxxPxP---(5分)第6页共6页三、证明题(每题8分，共8分)得分评阅人1.已知函数)(xf的傅里叶变换为)(F，试证明)('xf的傅里叶变换为)(Fi。证明：由于函数)(xf的傅里叶变换dxexfFxi)(21)(，-----(2分)则)('xf的傅里叶变换为dxexfexfdxexfxfFGxixixi]')[(21)([21)('21)]('[)(]-----(2分)根据傅里叶积分定理，有0)(lim||xfx且xie为有界量，于是，上式中的第一项为0。-----(2分)所以)(])(21[]')[(21)(FidxexfidxexfGxixi-----(2分)