31回归分析的基本思想及其初步应用三

3.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）2()0,()ybxaeEeDe线性回归模型其中，a和b是模型的未知参数.通常e为随机变量，称为随机误差.随机误差e的方差越小，用bx+a预报真实值y的精度越高.2思考产生随机误差e的原因是什么？(1)所用的确定性函数不恰当；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观察（测量）误差.()iiieybxaiiieyy对于样本点1122(,),(,),...,(,)nnxyxyxy它们的随机误差为12in，，…，其估计量为12in，，…，估计量称为相应于点的残差ie(,)iixy思考？如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？残差图纵坐标：残差横坐标：样本编号，或身高数据，或体重数据等.结论：（数据正确）如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.带状区域越窄，模拟拟合精度越高，回归方程的预报越精确.思考？如何衡量模型的拟合效果？相关指数22121()1()niiiniiyyRyy越大，模型的拟合越好；越小，模型的拟合越差.结论：2R2R建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确变量.（2）画出散点图，观察它们之间的关系.（3）由经验确定回归方程的类型.（4）按一定规则估计回归方程中的参数.（5）得出结果后分析是否有异常.（根据残差图或相关指数估计）例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关.现收集了7组观测数据列于表中：试建立产卵数y与温度x之间的回归方程.温度x/oC21232527293235产卵数y/个711212466115325例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关……解：作散点图050100150200250300350202224262830323436温度/°C产卵数/个例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关……解：作散点图050100150200250300350202224262830323436温度/°C产卵数/个例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关……从散点图看出，两个变量没有线性相关关系，可以认为样本点分布在某一条指数函数型曲线的周围.设此曲线的方程为21cxyce其中和是待定参数.1c2c令则lnzy12(ln,)zbxaacbc——非线性回归方程——对数变换对数变换后的样本数据为：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.78401234567202224262830323436xz对数变换后的样本数据为：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784得到的线性回归方程是0.2723.849zx因此产卵数y关于温度x的非线性回归方程为0.2723.849xye例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关……解：作散点图050100150200250300350202224262830323436温度/°C产卵数/个例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关……从散点图看出，两个变量没有线性相关关系，可以认为样本点集中在某一条二次曲线的附近.设此曲线的方程为234ycxc其中和是待定参数.3c4c——非线性回归方程令则lnzy12(ln,)zbxaacbc——对数变换例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关……从散点图看出，两个变量没有线性相关关系，可以认为样本点集中在某一条二次曲线的附近.设此曲线的方程为234ycxc其中和是待定参数.3c4c——非线性回归方程令则——平方变换2tx34yctc平方变换后的样本数据为：t44152962572984110241225y7112124661153250501001502002503003504005006007008009001000110012001300ty平方变换后的样本数据为：t44152962572984110241225y711212466115325得到的线性回归方程是0.367202.543yt因此产卵数关于温度的非线性回归方程为20.367202.543yx残差比较x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968(1)e(2)e结论：指数函数型曲线的拟合效果比二次曲线的拟合效果好.相关指数比较结论：指数函数型曲线的拟合效果比二次曲线的拟合效果好.210.98R220.80R