2018年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲正弦定理和余弦定理课件理资料

三角函数、解三角形第三章第22讲正弦定理和余弦定理考纲要求考情分析命题趋势掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2016，四川卷，17T2016，全国卷Ⅰ，17T2016，北京卷，15T正、余弦定理是解三角形的主要工具．高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.分值：5～12分板块一板块二板块三栏目导航板块四•1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________________________＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝___________________；b2＝___________________；c2＝___________________．asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝____________，b＝______________，c＝______________．②sinA＝_________，sinB＝_________，sinC＝_________.③a∶b∶c＝________________．cosA＝______________；cosB＝____________；cosC＝_____________.2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab•2.在△ABC中，已知a，b和A，解三角形时解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAa＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数____________________________________无解一解两解一解一解无解3.三角形常用的面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．(4)设p＝12(a＋b＋c)，则S＝pp－ap－bp－c.•1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．•(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．()•(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等．()•(3)已知两边及其夹角求第三边，用余弦定理．()•(4)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()•(5)在△ABC中，若sinAsinB，则AB．()√×√×√解析：(1)正确．由正弦定理和余弦定理的证明过程可知，它们对任意三角形都成立．(2)错误．由正弦定理可知该结论错误．(3)正确．由余弦定理可知该结论正确．(4)错误．当已知三个角时不能求三边．(5)正确．由正弦定理知sinA＝a2R，sinB＝b2R，由sinAsinB得ab，即AB．2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C．3D．32解析：由正弦定理得：BCsinA＝ACsinB，即32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝3232×22＝23.B3．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则∠A＝()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°A180°，∴A＝60°.C•4．在△ABC中，若a＝18，b＝24，∠A＝45°，则此三角形有()•A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定B解析：∵asinA＝bsinB，∴sinB＝ba·sinA＝2418sin45°，∴sinB＝223，又∵ab，∴∠B有两个．•5．在△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________.解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos120°，整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3.因此S△ABC＝12AB×BC×sinB＝12×3×5×32＝1534.1534•(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．•(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．•一利用正、余弦定理解三角形【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．解析：(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD.故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD．因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－2772＝217，sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－7142＝32114.于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BAD·sin∠CAD＝32114×277－－714×217＝32.在△ABC中，由正弦定理得，BCsinα＝ACsin∠CBA，故BC＝AC·sinαsin∠CBA＝7×32216＝3.•二利用正、余弦定理判定三角形的形状•利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路•(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．•(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．•注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．•【例2】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．•(1)求A的大小；•(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解析：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又0Aπ，所以A＝23π.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝34.又sinB＋sinC＝1，联立两式得sinB＝sinC＝12.因为0Bπ2，0Cπ2，故B＝C＝π6，所以△ABC是等腰钝角三角形．•三与三角形面积有关的问题与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝12absinC＝12ac·sinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．【例3】△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．解析：(1)由已知正弦定理，得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC．故2sinCcosC＝sinC．可得cosC＝12，所以C＝π3.(2)由已知，得12absinC＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC＝7.故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.1．(2017·山西太原模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝223，a＝2，S△ABC＝2，则b的值为()A．3B．322C．22D．23A解析：∵在锐角△ABC中，sinA＝223，S△ABC＝2，∴cosA＝1－sin2A＝13，12bcsinA＝12bc·223＝2，∴bc＝3①，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴(b＋c)2＝a2＋2bc(1＋cosA)＝4＋6×1＋13＝12，∴b＋c＝23②.由①②得b＝c＝3，故选A．•2．(2017·辽宁五校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是()•A．锐角三角形B．等腰三角形•C．直角三角形D．等腰或直角三角形解析：由两直线平行可得bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即12sin2A＝12sin2B，又A，B∈(0，π)，且A＋B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝π2，则△ABC是直角三角形，故选C．C3．(2017·东北育才五模)已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若csinA＝3acosC．(1)求角C；(2)若c＝21，且sinC＋sin(B－A)＝5sin2A，求△ABC的面积．解析：(1)根据asinA＝csinC，可得csinA＝asinC，又∵csinA＝3acosC，∴asinC＝3acosC，∴sinC＝3cosC，∴tanC＝sinCcosC＝3，∵C∈(0，π)，∴C＝π3.(2)∵sinC＋sin(B－A)＝5sin2A，sinC＝sin(A＋B)，∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝5sin2A，∴2sinBcosA＝2×5sinAcosA．∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB＝5sinA．由正弦定理可知b＝5a，①∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴21＝a2＋b2－2ab×12＝a2＋b2－ab，②由①②解得a＝1，b＝5，∴S△ABC＝12absinC＝12×1×5×32＝534.4．(2017·广东茂名二模)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝π3，b＝7，c＝2，D为BC的中点．(1)求cos∠BAC的值；(2)求AD的值．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，∴7＝4＋a2－2×2×a×12，即(a－3)(a＋1)＝0，解得a＝3(a＝－1舍去)，∴cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝4＋7－92×2×7＝714.(2)由(1)知BC＝3，则BD＝32.在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cosB＝4＋94－2×2×32×12＝134，∴AD＝132.•错因分析：在三角形中忽视“大边对大角”“大角的正弦值也大”产生增解；由sin2A＝sin2B得2A＝2B或2A＋2B＝π时，容易丢掉2A＋2B＝π.•【例1】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若tanA∶tanB＝a2∶b2，试判断△ABC的形状．•易错点解三角形时出现增解与丢解解析：∵sinAcosA∶sinBcosB＝a2∶b2＝sin2A∶sin2B，∴sinAcosBcosAsinB＝sin2Asin2B，整理得sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．【例2】△ABC中，sinA＝513，cosB＝35，则cosC＝______________.解析：∵cosB0，∴B为锐角，sinB＝45.∵sinAsinB，∴AB，cosA＝1213.∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1213×35－513×45＝－1665.答案：－1665