高考数学专题三三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质学案理

第一讲三角函数的图象与性质考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．三角函数的定义若角α的终边过点P(x，y)，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(其中r＝x2＋y2)．2．诱导公式(1)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈Z)，tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)．(2)sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝＝tanα.(3)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(4)sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.(5)sinπ2－α＝cosα，cosπ2－α＝sinα，sinπ2＋α＝cosα，cosπ2＋α＝－sinα.3．基本关系sin2x＋cos2x＝1，tanx＝sinxcosx.[对点训练]1．(2018·山东寿光一模)若角α的终边过点A(2,1)，则sin32π－α＝()A．－255B．－55C.55D.255[解析]根据三角函数的定义可知cosα＝25＝255，则sin32π－α＝－cosα＝－255，故选A.[答案]A2．已知sin－5π6＋x＝15，则cosx－π3＝()A．－15B.15C.25D．－25[解析]cosx－π3＝cosπ3－x＝sinπ2－π3－x＝sinπ6＋x＝－sin－π＋π6＋x＝－sin－5π6＋x＝－15.[答案]A3．已知P(sin40°，－cos140°)为锐角α终边上的点，则α＝()A．40°B．50°C．70°D．80°[解析]∵P(sin40°，－cos140°)为角α终边上的点，因而tanα＝－cos140°sin40°＝－cos90°＋50°sin90°－50°＝sin50°cos50°＝tan50°，又α为锐角，则α＝50°，故选B.[答案]B4．(2018·福建泉州质检)已知θ为第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，则tanθ＝________.[解析]由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－43.[答案]－43[快速审题](1)看到终边上点的坐标，想到三角函数的定义．(2)看到三角函数求值，想到诱导公式及切弦互化．诱导公式及三角函数关系式的应用策略(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的式子，结合诱导公式将角进行转化．考点二三角函数的图象与解析式1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．2．两种图象变换[解析](1)∵f(x)＝cos2x＋π3＝sin2x＋π3＋π2＝sin2x＋π6＋π4，∴只需将函数g(x)＝sin2x＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可得到f(x)的图象．故选C.(2)由T4＝1112π－23π＝π4，得T＝π，又知T＝2πω，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．又知f1112π＝－2，∴2sin116π＋φ＝－2，即sin116π＋φ＝－1.∴116π＋φ＝2kπ＋32π(k∈Z)．∴φ＝2kπ－π3(k∈Z)，又∵－π2φ0，∴φ＝－π3.[答案](1)C(2)－π3解决三角函数图象问题的策略(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．[对点训练]1．[原创题]将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，－π2≤φπ2图象上每一点的横坐标先伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y＝sinx的图象，则函数f(x)的单调递增区间为()A.2kπ－π12，2kπ＋5π12，k∈ZB.2kπ－π6，2kπ＋5π6，k∈ZC.kπ－π12，kπ＋5π12，k∈ZD.kπ－π6，kπ＋5π6，k∈Z[解析]解法一：将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则函数变为y＝sin12ωx＋φ，再向左平移π3个单位长度得到的函数为y＝sin12ωx＋π3＋φ＝sin12ωx＋ωπ6＋φ＝sinx，又ω0，所以12ω＝1，ωπ6＋φ＝2kπ，k∈Z，又－π2≤φπ2，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝sin2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，可得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故选C.解法二：将y＝sinx的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y＝sinx－π3，将函数y＝sinx－π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y＝sin2x－π3＝f(x)，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，可得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，故选C.[答案]C2．(2018·湖北七市(州)3月联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，若x1，x2∈－π6，π3，x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A．1B.12C.22D.32[解析]由题图知A＝1，函数f(x)的最小正周期T＝2π3－－π6＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又因为点－π6，0在图象的上升段上，所以－π3＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋π3(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π3，故f(x)＝sin2x＋π3，可知在－π6，π3上，函数f(x)的图象关于x＝π12对称，因为x1，x2∈－π6，π3，f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝π6，所以f(x1＋x2)＝fπ6＝sin2×π6＋π3＝32.故选D.[答案]D考点三三角函数的性质1．三角函数的单调区间y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．2．三角函数的奇偶性与对称性y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．角度1：研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性[解析]∵f(x)的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin2x－π3＋φ＝sin2x－2π3＋φ的图象，又g(x)的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝2π3＋kπ，k∈Z，又|φ|π2，∴2π3＋kππ2，∴k＝－1，φ＝－π3，∴f(x)＝sin2x－π3，当x＝π12时，2x－π3＝－π6，∴A、C错误，当x＝5π12时，2x－π3＝π2，∴B正确，D错误．[答案]B[探究追问]在本例中条件不变，若将“图象关于原点对称”改为“图象关于y轴对称”，则f(x)的图象对称性是怎样的？[解析]g(x)的图象关于y轴对称，则－2π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，可求φ＝π6，∴f(x)＝sin2x＋π6，2x＋π6＝kπ，k∈Z，可得x＝kπ2－π12，k∈Z，令k＝1，则x＝5π12，故选D.[答案]D角度2：求三角函数的单调区间及最值[解](1)f(x)＝23cosωx·sinωx＋sin2ωx－cos2ωx＝3sin2ωx－cos2ωx＝2sin2ωx－π6.由f(x)图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为π4，知14·2π2ω＝π4，即ω＝1.所以f(x)＝2sin2x－π6，令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z.解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为－π6＋kπ，π3＋kπ(k∈Z)．(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6，所以－12≤sin2x－π6≤1，所以－1≤f(x)≤2.即函数f(x)的值域为[－1,2]．三角函数性质问题的解题策略(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A0，ω0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝－Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间．(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在某一区间的最值时，将ωx＋φ视为整体，借助正弦函数的图象和性质求解．[对点训练]1．[角度1](2018·内蒙古赤峰二中三模)已知函数f(x)＝2sin2x－π6－1，则下列结论中错误的是()A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)的图象关于直线x＝π3对称C．f(x)在区间0，π4上是增函数D．函数f(x)的图象可由g(x)＝2sin2x－1的图象向右平移π6个单位长度得到[解析]对于函数f(x)＝2sin2x－π6－1，由于它的最小正周期为π，故A项正确；当x＝π3时，f(x)＝2sin2x－π6－1＝1，函数取得最大值，故f(x)的图象关于直线x＝π3对称，故B项正确；当x在区间0，π4上时，2x－π6∈－π6，π3，故f(x)在区间0，π4上是增函数，故C项正确；由于把g(x)＝2sin2x－1的图象向右平移π6个单位长度得到y＝2sin2x－π6－1＝2sin2x－π3－1的图象，故D项错误．故选D.[答案]D2．[角度2](2018·河南濮阳一模)先将函数f(x)＝sinx的图象上的各点向左平移π6个单位，再将各点的横坐标变为原来的1ω(其中ω∈N*)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间π6，π4上单调递增，则ω的最大值为________．[