高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形教案理

第二讲三角恒等变换与解三角形年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018Ⅰ卷利用正、余弦定理解三角形·T17命题分析三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．学科素养三角变换及解三角形在学生能力考查中主要考查逻辑推理及数学运算两大素养，通过三角恒等变换及正、余弦定理来求解相关问题.Ⅱ卷二倍角公式应用及余弦定理解三角形·T6Ⅲ卷三角变换求值·T4解三角形·T92017Ⅰ卷三角变换与正弦定理解三角形·T17Ⅱ卷三角变换与余弦定理解三角形·T17Ⅲ卷利用余弦定理解三角形及面积问题·T172016Ⅱ卷三角恒等变换求值问题·T9Ⅲ卷三角恒等变换求值问题·T5解三角形(正、余弦定理)·T8三角恒等变换授课提示：对应学生用书第22页[悟通——方法结论]三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[全练——快速解答]1．(2018·合肥模拟)sin18°·sin78°－cos162°·cos78°＝()A．－32B．－12C.32D.12解析：sin18°·sin78°－cos162°·cos78°＝sin18°·sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝12，故选D.答案：D2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89解析：∵sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.故选B.答案：B3．(2018·沈阳模拟)已知tanθ＝2，则sinθ＋cosθsinθ＋sin2θ的值为()A.195B.165C.2310D.1710解析：原式＝sinθ＋cosθsinθ＋sin2θ＝sinθ＋cosθsinθ＋sin2θsin2θ＋cos2θ＝tanθ＋1tanθ＋tan2θtan2θ＋1，将tanθ＝2代入，得原式＝2310，故选C.答案：C4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tanα＝2，则cos(α－π4)＝________.解析：∵α∈(0，π2)，tanα＝2，∴sinα＝255，cosα＝55，∴cos(α－π4)＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22×(255＋55)＝31010.答案：31010三角函数式的化简方法及基本思路(1)化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等．(2)化简基本思路“一角二名三结构”，即：一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于sinα·cosα的齐次分式化切等；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等．解三角形的基本问题及应用授课提示：对应学生用书第22页[悟通——方法结论]正、余弦定理、三角形面积公式(1)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.(3)S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3解析：因为sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝3π4，由正弦定理得sinC＝c·sinAa＝2×222＝12，又0Cπ4，所以C＝π6.答案：B(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25解析：∵cosC2＝55，∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，∴AB＝32＝42.故选A.答案：A(3)(2018·福州模拟)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为vm/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos45°＝1002.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.答案：22.61．解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到．2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．[练通——即学即用]1．(2018·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为()A.12B.14C．1D．2解析：由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sinA＝12(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×2×12＝12.答案：A2．(2018·广州模拟)在△ABC中，∠ACB＝60°，BC1，AC＝AB＋12，当△ABC的周长最短时，BC的长是________．解析：设AC＝b，AB＝c，BC＝a，△ABC的周长为l，由b＝c＋12，得l＝a＋b＋c＝a＋2c＋12.又cos60°＝a2＋b2－c22ab＝12，即ab＝a2＋b2－c2，得ac＋12＝a2＋c＋122－c2，即c＝a2－12a＋14a－1.l＝a＋2c＋12＝a＋2a2－a＋12a－1＋12＝3a－12＋43()a－1＋12a－1＋12＝3a－1＋12a－1＋43＋12≥32a－1×12a－1＋43＋12，当且仅当a－1＝12a－1时，△ABC的周长最短，此时a＝1＋22，即BC的长是1＋22.答案：1＋22解三角形的综合问题授课提示：对应学生用书第23页[悟通——方法结论]三角形中的常用结论(1)A＋B＝π－C，A＋B2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠π2)．(2017·高考全国卷Ⅱ)(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求cosB❷；(2)若a＋c＝6❸，△ABC的面积为2❹，求b.[学审题]条件信息想到方法注意什么信息❶：两角和与半角的三角等式关系三角形内角和定理及倍角公式(1)三角形中的三角恒等关系式化简时，三角形内角和定理及倍角公式的正确使用(2)转化与化归思想、整体代入思想在解题过程中的应用信息❷：求cosB化已知条件为cosB的关系式信息❸：a＋c＝6寻找平方后与余弦定理中a2＋c2的关系式信息❹：三角形面积为2利用面积公式来求ac的值[规范解答](1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2B2，(2分)即sinB＝4(1－cosB)，(3分)故17cos2B－32cosB＋15＝0，(4分)解得cosB＝1517，cosB＝1(舍去)．(6分)(2)由cosB＝1517，得sinB＝817，(7分)故S△ABC＝12acsinB＝417ac.(8分)又S△ABC＝2，则ac＝172.(9分)由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)(10分)＝36－2×172×1＋1517＝4.(11分)所以b＝2.(12分)1．与三角形面积有关的问题的解题模型2．学科素养：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两大素养．[练通——即学即用](2018·长郡中学模拟)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sinAcos2A－3cos(B＋C)＝sin3A＋3.(1)求A的大小；(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．解析：(1)∵A＋B＋C＝π，∴cos(B＋C)＝－cosA①，∵3A＝2A＋A，∴sin3A＝sin(2A＋A)＝sin2AcosA＋cos2AsinA②，又sin2A＝2sinAcosA③，cos2A＝2cos2A－1④，将①②③④代入已知，得2sin2AcosA＋3cosA＝sin2AcosA＋cos2AsinA＋3，整理得sinA＋3cosA＝3，即sinA＋π3＝32，又A∈0，π2，∴A＋π3＝2π3，即A＝π3.(2)由(1)得B＋C＝2π3，∴C＝2π3－B，∵△ABC为锐角三角形，∴2π3－B∈0，π2且B∈0，π2，解得B∈π6，π2，在△ABC中，由正弦定理得2sinB＝csinC，∴c＝2sinCsinB＝2sin2π3－BsinB＝3tanB＋1，又B∈π6，π2，∴1tanB∈()0，3，∴c∈(1,4)，∵S△ABC＝12bcsinA＝32c，∴S△ABC∈32，23.授课提示：对应学生用书第124页一、选择题1．(2018·合肥调研)已知x∈()0，π，且cos2x－π2＝sin2x，则tanx－π4等于()A.13B．－13C．3D．－3解析：由cos2x－π2＝sin2x得sin2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tanx＝2，∴tanx－π4＝tanx－11＋tanx＝13.答案：A2．(2018·成都模拟)已知sinα＝1010，α∈0，π2，则cos