第4章-4.3拉普拉斯变换的性质

信号与系统分析第4章复频域分析4.3拉普拉斯变换的性质第4章第4章4.3拉普拉斯变换的性质sxssX)0()()1(拉氏变换的基本性质（1）线性)(1txainii)(.1sXainiidttdx)(t域微分)0()(xssXt域积分tdx)(时移)()(00ttttx)(0sXest频移atetx)()(asXs域微分s域积分dssdX)()(ttxdssX)(ttx)(拉氏逆变换拉氏逆变换证明推广证明证明证明证明第4章4.3拉普拉斯变换的性质)()]([11sXatxaLiniiinii证明)()]([de)(de)()]([1101011sXatxLattxattxatxaLiniiiniistiniistiniiinii线性第4章4.3拉普拉斯变换的性质例应用线性性质求的拉普拉斯变换。)sin()(0ttx解利用欧拉公式，正弦函数可用复指数函数表示为ttt00jj0eej21)sin(由于，利用线性性质，得正弦函数的变换asat1e2020000j1j1j21)}{sin(Lssst第4章4.3拉普拉斯变换的性质微分)0()(]d)(d[LxssXttx)0()0()0()(]d)(d[L)1()1(21nnnnnnxxsxssXsttx)0()0()(]d)(d[L)1(222xsxsXsttx00()()eded()ststxtxttxt证明：zL00()ed()e()(0)ststsxttxtsXsx第4章4.3拉普拉斯变换的性质例4-14应用微分性质求的变换。)()(ttx解ststtLt)0()]([L]d)(d[)]([L0-()cos()xtt例415应用微分性质求的单边拉氏变换。2000cos()cos()tt解：220()(0)(0)()sXssxxXs(0)1,(0)0xx0220cos()stsL第4章4.3拉普拉斯变换的性质频域微分ssXttxd)(d)(证明)]([Lde)]([dedd)(de)(ddd)(d000ttxtttxtstxttxsssXststst重复运用上述结果，还可得nnnssXtxtd)(d)()(第4章4.3拉普拉斯变换的性质例4-16试求的拉普拉斯变换，其中n为正整数。atnttxe)(解由于，则由频域微分asat1e2)(1)1(dd]e[Lasasstat2)(1eastat即类似得32)(2eastat1)(1!enatnasnt第4章4.3拉普拉斯变换的性质积分sxssXxt)0()(d)()1(式中，考虑到积分式在t＝0处可能有跳变，取0－值，即。0(1)(0)()dxx(1)(0)x证明令d)()(txtg)(d)(dtxttg则根据时域微分性质，有)()0()(sXgssGsgssXsG)0()()(即sxssX)0()()1(当为因果信号，则)(tx0)0(gssXxt)(d)(第4章4.3拉普拉斯变换的性质例4-17利用积分性质求单位斜变函数的变换。)(ttst1)(解21)]([L)]([Lssttt第4章4.3拉普拉斯变换的性质)(e)()(000sXttttxst00t时移证明tttxtttttxttttxsttstde)(de)()()]()([L00000000tt令)(ede)(e000sXxstsst第4章4.3拉普拉斯变换的性质例4-18求单个正弦波的拉氏变换。)()}(sin{)()sin()(00TtTttttx解20200)]()[sin(LsttsTsTtTte)]())([sin(L20200)1()(2020sTessX第4章4.3拉普拉斯变换的性质证明)()(easXtxat)(de)(dee)()](e[L0)(0asXttxttxtxtasstatat域移第4章4.3拉普拉斯变换的性质例4-21求衰减正弦的拉普拉斯变换。解正弦函数的变换为)sin(e0tat20200)sin(st20200)()sin(eastat频移特性第4章4.3拉普拉斯变换的性质例4-21衰减余弦的拉氏变换)]([cos)(ttetft220)]([cos)(ssttLsF22)()(sssF频移特性第4章4.3拉普拉斯变换的性质拉氏变换的基本性质（2）尺度变换)(atxasXa1)(lim)0()(lim0ssXxtxst终值定理)(lim)()(lim0ssXxtxst卷积定理)(*)(21txtx)()(21sXsX初值定理)()(21txtx)(*)(2121sXsXj因果信号举例举例第4章4.3拉普拉斯变换的性质例已知求[()()]?(0,0)Lxatbatbab[()]()LxtXs解1{[[()[()]}()basbbsLxatatXeaaaa)(atxasXa1单边拉氏变换中要求a0第4章4.3拉普拉斯变换的性质)(limtxt初值定理应用的条件：X(s)必须是真分式；终值定理应用的条件：终值必须存在，对应s域中就是X(s)的极点必须位于s平面的左半开平面，在s=0处允许有一阶极点存在。(0)lim()sxsXs证明：0()()edstXsxtt0d()()(0)eddstxtsXsxtt00d()d()limed[lime]d0ddststssxtxttttt(0)lim()sxsXs第4章4.3拉普拉斯变换的性质例求反变换的初值和终值。解先将X(s)化为真分式1()1sXss112()11()11sXsXsss11(0)(0)lim()2sffsXsX(s)的极点s=-1在左半平面，故终值存在0()lim()0sfsXs第4章4.3拉普拉斯变换的性质()()()()xthtXsHs时域卷积定理L()()()()dxthtxht0()()ed()edststXsxttxtt()()()()ded()()eddststxthtxhttxhttL()ed()estshttHs()()()ed()()()sxthtxHsXsHsL第4章4.3拉普拉斯变换的性质第4章4.3拉普拉斯变换的性质第4章4.3拉普拉斯变换的性质第4章4.3拉普拉斯变换的性质例周期信号的拉氏变换)()(11sXtxL)()(11sXenTtxsnTLsTnsnTLnesXesXnTtx1)()()(1010第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和第4章4.3拉普拉斯变换的性质例矩形周期信号拉氏变换)1(11)()(21sTssTeseesXsX)1(1)(21sessX第一周期的信号第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷技术求和)2()()(1ttεtxε11()()snTxtnTeXs第n周期的拉氏变换第4章4.3拉普拉斯变换的性质例求周期信号的拉氏变换)(tx12T0T2T1)(0tx0tt)]2()([2sinTtttT22)1(2seTLT222211)1(2TseseT第4章4.3拉普拉斯变换的性质例)(tx单对称方波周期对称方波乘衰减指数)21(12sseesssees2211)1(1包络函数te12)2()1(2)(ttt)1()1()1(1)1()1(ssees第4章4.3拉普拉斯变换的性质例抽样信号的拉氏变换0)()(nTnTttsTnsnTTees11)(0)()()(ttftfTs00.0)()()()(nsnTnsnTTsenTfdtenTtnTfsF抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换第4章4.3拉普拉斯变换的性质作业：4-4；4-7