数学小升初总复习(二).

学科教师辅导讲义课题小学数学总复习（二）比例的性质与意义、比例尺、正比例与反比例教学目标掌握比例的性质与意义，会运用比例尺，能正确判断正比例与反比例，并能根据比例的关系解答问题。重点、难点重点：比例尺的运用，正反比例的判断与解题。难点：运用比例尺找位置关系，如何才能成正（反）比例。考点及考试要求根据比例尺判断方位、求值；判断是否成正反比例；会用描点法画图，确定数的位置。教学内容一、比例的意义和基本性质典型例题例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）ABC（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。这两个长方形的长有什么关系？宽呢？（2）如果要把长方形A按1:2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？分析与解：（1）长方形B的长是长方形A的2倍，宽也是长方形A的2倍。或者说长方形B和长方形A长的比是2:1，宽的比也是2:1。把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是2:1，就是把长方形A的长和宽按2:1的比进行放大。（2）把长方形A按1:2的比缩小后为长方形C，长、宽缩小为原来的21，图C的长是0.75厘米，图C的宽是0.5厘米。由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。例2、（将两个相等比写成一个等式）图B是由图A放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出的两个比，你有什么发现？BA3厘米6厘米4厘米8厘米分析与解：（1）图A中长与宽的比是4:3；图B中长与宽的原始比是8:6，而8:6化简后就是4:3。（2）这两个比化简后都是4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。即4:3=8:6或34=68，都读作：4比3等于8比6。例3、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。（1）5：6和15：18（2）0.2：0.1和3：1（3）21：31和1.2：0.8（4）6：2和83：81分析与解：分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能组成比例。（1）因为5：6=65，15：18=65，所以5：6=15：18。（2）因为0.2：0.1=2，3：1=3，所以0.2：0.1和3：1不能组成比例。（3）因为21：31=23，1.2：0.8=23，所以21：31=1.2：0.8。（4）6：2=3，83：81=3，所以6：2=83：81。点评：判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相等就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。例4、（比例的各部分名称和比例的基本性质）一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。你能根据数量间的关系写出比例吗？分析与解：（1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。3.6：3=4.8：4（2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。3.6：4.8=3：4（3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。3：3.6=4：4.8介绍“项”：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如：3.6：3=4.8：4观察题中的三个比例，你有什么发现？3.6：3=4.8：43.6：4.8=3：43：3.6=4：4.8（1）3.6和4可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。（2）3.6×4=3×4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。（3）如果把3.6：3=4.8：4改写成分数形式36.3=48.4，等号两边的分子、分母分别交叉相乘，结果也相等。（4）如果用字母表示比例的四个项，即a:b=c:d，那么这个规律可表示成ad=bc或bc=ad。（5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。例5、（比例基本性质的应用）根据2×7=1.4×10这个等式写出几个比例。分析与解：根据比例的基本性质，可以得出2和7、1.4和10这两组数要么同时是比例的外项，要么同时是比例的内项。1.4:2=7:101.4:7=2:1010:2=7:1.410:7=2:1.42:1.4=10:72:10=1.4:77:1.4=10:27:10=1.4:2点评：像这样的比例一共可以写8个。但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么同时为外项，而1.4和10这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。练习一：1、王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么发现？图中宽是多少厘米？4厘米5厘米2、按2:1的比画出平行四边形放大后的图形，按1:3的比画出长方形缩小后的图形。3、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？6∶10和9∶1520∶5和4∶15∶1和6∶24、在2∶5、12∶0.2、310∶15三个比中，与5.6∶14能组成比例的一个比是()。5、在比例里，两个（）的积和两个（）积相等。6、如果A×3=B×5，那么A∶B=()∶()。7、从6、24、20、18与5这五个数中选出四个数组成一个比例是：()∶()=()∶()。8、把左边的平行四边形按比例缩小后得右边的平行四边形，求未知数X。（单位：厘米）9、解比例ⅹ∶3=78∶149x=4.50.816∶25=12∶x34∶x=3∶1238∶x=5％∶0.61.318=x3.6二、比例尺、面积变化、确定位置典型例题：例1、（认识比例尺）王伯伯家有一块长方形的菜地，长40米，宽30米。把这块菜地按一定的比例缩小，画在平面图上长4厘米，宽3厘米。你能分别写出菜地长、宽的图上距离和实际距离的比吗？分析与解：图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同的单位，写出比后再化简。40米=4000厘米3厘米=0.03米40004=100013003.0=30003=10001图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。图上距离:实际距离=比例尺或实际距离图上距离=比例尺图上距离和实际距离的比是1:1000，这幅图的比例尺是1:1000，也可写成10001，仍读作1比1000。点评：求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。做的时候唯一要注意的就是末尾0的问题：一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上2、5个0；二是在求比例尺的结果时要注意0的个数。多数一数、想一想，是不会有错的。例2、（对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法）比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？图上1厘米表示实际距离多少米？分析与解：比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的10001，实际距离是图上距离的1000倍，图上1厘米的距离代表实际距离1000厘米，即10米。像形如1:1000这样的比例尺叫做数值比例尺。比例尺1:1000还可以这样表示0102030米，这是线段比例尺，它表示图上1厘米的距离代表实际距离10米。例3、一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是多少？错误解法：4厘米=40毫米2:40=1:20思路分析：无论什么样的图纸，比例尺始终是图上距离与实际距离的比，根据比例尺的定义，用“图上距离:实际距离=比例尺”去求。正确解答：4厘米=40毫米40:2=20:1点评：比例尺通常情况下都应该写成前项是1的比。但比例尺的作用除了把实际距离缩小，还可以把实际距离扩大，这样比例尺的前项就比后项大，这时后项通常化成1。在解答时，只要坚持好“图上距离:实际距离=比例尺”，图上距离在前就可以了。例4、（根据比例尺求图上距离或实际距离）在比例尺是600001的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.5厘米。两地的实际距离是多少米？分析与解：方法1：比例尺是600001，说明实际距离是图上距离的60000倍。2.5×60000=150000（厘米）150000（厘米）=1500米方法2：比例尺是600001，也就是图上1厘米的距离代表实际距离60000厘米，即600米。2.5×600=1500（米）方法3：根据实际距离图上距离=比例尺，可以用“图上距离÷比例尺”或“解比例”的方法来求实际距离。2.5÷600001=2.5×60000=150000（厘米）=1500米解：设两地的实际距离是ⅹ厘米。5.2=6000011ⅹ=2.5×60000ⅹ=150000150000（厘米）=1500米答：两地的实际距离是1500厘米。例5、（平面图形按照一定的比放大后，面积扩大了比的平方倍）下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。分析与解：量得小长方形的长是2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是7.5厘米，宽是3厘米。大长方形与小长方形长的比是7.5:2.5=3:1，宽的比是3:1。小长方形的面积大长方形的面积=15.235.7=5.25.7×13=9:1=3²:1答：大长方形与小长方形面积的比是9:1。例6、（认识北偏东（西）若干度、南偏东（西）若干度等方向）如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？N商场北45º60º书店0369千米汽车分析与解：从图上可以看出，以汽车为中心，书店在汽车的东北方向，商场在汽车的西北方向。怎样才能更准确地表示它们的位置呢？东北方向也叫做北偏东方向，书店在汽车的北偏东60º方向。西北方向也叫做北偏西方向，商场在汽车的北偏西45º方向。答：书店在汽车的北偏东60º方向，商场在汽车的北偏西45º方向。例7、（知道了物体的方向和距离，才能确定物体的具体位置）量出上图中书店到汽车的图上距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东60º方向的多少千米处？商场呢？分析与解：从图中量得书店和商场到汽车的图上距离分别是1.2厘米和2.3厘米，根据比例尺，图上距离1厘米代表实际距离3千米，分别算出实际距离。1.2×3=3.6（千米）┄┄┄书店2.3×3=6.9（千米）┄┄┄商场答：书店在汽车北偏东60º方向的3.6千米处，商场在汽车北偏西45º方向的6.9千米处。点评：只有在方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的位置。确定方向时，一定要先确定好南或北，再看是偏东还是偏西，如果图中没有画线，要先连线。算实际距离就根据前面比例尺的相关知识去求。例8、（辨析）书店在汽车的北偏东60º方向，表示汽车也在书店的北偏东60º方向。分析与解：书店在汽车的北偏东60º方向，是以汽车为中心，由北向东旋转60º；而以书店为中心，汽车在书店的西南方向，即南偏西60º方向。书店在汽车的北偏东60º方向，表示汽车在书店的南偏西60º方向。练习二：1、海面上有一座灯塔，灯塔北偏西30º方向30千米处是凤凰岛。N北W西东E灯塔0102030千米南S你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗？2、（用方向和距离描述简单的行走路线）下图是某市旅游1号车行驶的线路图，请根据线路图填空。（1）旅游1号车从起点站出发，向（）行驶到达青水公园，再向（）偏（）（）的方向行（）千米到达抗战纪念碑。（2）由绿博园向南偏（）（）的方向行（）千米到达购物中心，再向北偏（）（）的方向行（）千米到达人民公园。3、一幅地图的线段比例尺是，这幅图上3厘米表示实际距离多少千米？4、一种精密零件，画在图上是12厘米，而实际的长度是3毫米。求这幅图的比例尺。5、英华小学有一块长120米、宽80米的长方形操场，画在比例尺为1：4000的平面图上，长和宽各应画多少厘米？6、在比例尺为1：200000的一幅地图上，A城和B城相距5厘米，两城实际相距多少千米？7、一幅地图的线段比例尺是：04080120160千米，甲乙两城在这幅地图上相距18厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城相距660千米，在这幅地图上两城之间的距离是多少厘米？8、小明家在百货商场的北偏西40°方向2500米处，图书馆在农业银行东偏南40°方向1500米处。下面是小明坐出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价9元计算，以后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信息算一算，小明