数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)

1山东省临沂第一中学2.3数学归纳法临沂一中数学组2山东省临沂第一中学问题提出1.归纳推理的基本特征是什么？由个别事实概括出一般结论.2.综合法，分析法和反证法的基本思想分别是什么？综合法：由已知推可知，逐步推出未知.分析法：由未知探需知，逐步推向已知.反证法：假设结论不成立，推出矛盾得证明.3山东省临沂第一中学3.归纳推理能帮助我们发现一般结论，但得出的结论不一定正确，即使正确也需要经过严格的证明才能肯定其真实性.综合法，分析法和反证法虽可证明某些结论，但都有其局限性，因此，我们非常需要一个与归纳推理相匹配的证明方法，使之成为无与伦比的“黄金搭档”.4山东省临沂第一中学5山东省临沂第一中学探究（一）：数学归纳法的感性认识思考1：某人想排队进展览馆参观，不知自己能否进得去，于是问组织者，答曰；只要你前一个人能进去，你就能进去.那么此人能进去参观吗？若每个排队的人都能进去参观，需要什么条件？（1）第一个人进去；（2）若前一个人进去，则后一个人也能进去.6山东省临沂第一中学思考2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？（1）推倒第一块骨牌；（2）前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌.7山东省临沂第一中学8山东省临沂第一中学思考3：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？（1）始祖姓王；（2）子随父姓.（第1代姓王）（如果第k代姓T，则第k+1代也姓T）9山东省临沂第一中学思考4：已知数列{an}满足:（n∈N*），那么该数列的各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若确定数列中的每一项，还需增加什么条件？11nnnaaa+=+由第k项可推出第k＋1项.给出第1项；（1）（2）10山东省临沂第一中学探究（二）：数学归纳法的基本原理111kak+=+思考1：已知数列{an}满足（n∈N*），假设当n＝k时，，则当n＝k＋1时，ak＋1等于什么？若假设，则ak＋1等于什么？11nnnaaa+=+1kak=221kak=-1221kak+=+11山东省临沂第一中学思考2：若给出a1＝1，则数列{an}的通项公式是什么？若给出a1＝2，则数列{an}的通项公式是什么？如何理解你的结论？1nan=221nan=-思考3：已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an＋3，利用上述思想如何证明数列{an}的通项公式是an＝2n+1-3？12山东省临沂第一中学思考4：利用上述思想如何证明：对任意n∈N*都有等式2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)成立？思考5：上述证明方法叫做数学归纳法，一般地，用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，其证明步骤如何？（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；（2）假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.13山东省临沂第一中学思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n都成立.14山东省临沂第一中学理论迁移例1用数学归纳法证明：222(1)(21)126nnnn+++++=L(n∈N*).15山东省临沂第一中学例2已知数列：试猜想其前n项和Sn的表达式，并数学归纳法证明.1111,,,,,1447710(32)(31)nn创?+LL31nnSn=+16山东省临沂第一中学小结作业1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明.17山东省临沂第一中学数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；10nn0n（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．)N(0nkkkn且1kn递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”注意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k＋1中间的变化。18山东省临沂第一中学2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.19山东省临沂第一中学(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.练习1:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第一个取值应是多少?答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.证明中需要注意的问题练习2:用数学归纳法证明3nn2.此题在第二步的证明过程中在假设n=k时,3kk2成立的基础上,当n=k+1时,要说明此式大于零,则必须k≥2.故在证明的第一步中,初始值应取1和2两个值.2)1()12(3)12(33)1(32222221kkkkkkkkkk20山东省临沂第一中学(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.21山东省临沂第一中学练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.212111)1(1321211nnnn211111)1(211)2111()3121()211(kkkkk1111223(1)1kkkk22山东省临沂第一中学(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.学案P74例题123山东省临沂第一中学1.已知:,则等于()A:B:C:D:131...2111)(nnnnf)1(kf1)1(31)(Kkf231)(Kkf11431331231)(KKKKkf11431)(KKkfC练习：2.学案P74A2.24山东省临沂第一中学重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。25山东省临沂第一中学)2)(1(6112)1()2(3)1(21nnnnnnnn)(kf12)1()2(3)1(21kkkkk)1(kf)(kf分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。有几项？是什么,它比多出了多少，是首要问题。例3．对于n∈N*用数学归纳法证明：事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4……kf(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k26山东省临沂第一中学证明：设f(n)=(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立12)1()2(3)1(21nnnnn(2)设当n＝k,时等式成立，即)2)(1(61)(kkkkf则n=k+1时，f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+……+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k+(k+1))3)(2)(1(61)11)(1(21)2)(1(61kkkkkkkk∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立。27山东省临沂第一中学①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。课堂小结28山东省临沂第一中学用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。可明确为：29山东省临沂第一中学作业：P95练习：1，2.