2017-2018学年内蒙古赤峰市高一(下)期末数学(理)试题(解析版)

第1页共20页2017-2018学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学（理）试题一、单选题1．若集和，，则A．B．C．0，D．0，1，【答案】A【解析】先解出M，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，；．故选：A．【点睛】本题考查描述法表示集合的概念，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．属基础题.2．已知，则下列正确的是A．奇函数，在上为增函数B．偶函数，在上为增函数C．奇函数，在上为减函数D．偶函数，在上为减函数【答案】B【解析】根据题意，由函数的解析式可得，可得为偶函数，当时，求出函数的导数，由函数导数与函数单调性的关系，分析可的在上为增函数；即可得答案．【详解】根据题意，，则，则函数为偶函数；当时，，则，则在上为增函数；故选：B．第2页共20页【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键掌握函数单调性、奇偶性的判断方法，属于基础题．3．直线与的位置关系是A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，的值有关【答案】B【解析】当这两条直线中有一条斜率不存在时，检验他们的位置关系式垂直关系当它们的斜率都存在时，求出它们的斜率，发现斜率之积等于，两条直线垂直．【详解】当或时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直．当和都不等于0时，这两条直线的斜率分别为和，显然，斜率之积等于，故两直线垂直综上，两条直线一定是垂直的关系，故选：B．【点睛】本题考查两条直线垂直的条件是斜率之积等于，或者它们的斜率中一个等于0，而另一个不存在体现了分类讨论的数学思想．4．函数的图象大致是A．B．C．D．第3页共20页【答案】B【解析】先由奇偶性来确定是A还是B选项中的一个，再通过对数函数，当时，函数为减函数，可进一步确定选项．【详解】是偶函数，所以排除C，D，当时，函数为减函数，排除A．故选：B．【点睛】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．5．，是夹角为的单位向量，则，的夹角的余弦值为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据条件即可求出，从而可求出夹角的余弦值．【详解】；，；；．故选：C．【点睛】本题考查单位向量的概念，向量夹角的余弦公式，向量数量积的运算．属基础题.6．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A．若，，则B．若，，则第4页共20页C．若，，则D．若，，则【答案】D【解析】在A中，l与相交、平行或；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，或；在D中，由线面垂直的性质定理得．【详解】由l，m是两条不同的直线，是一个平面，知：在A中，若，，则l与相交、平行或，故A错误；在B中，若，，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若，，则或，故C错误；在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】C【解析】利用数学文化知识，首先判定数列为等差数列，进一步利用等差数列的通项公式的前n项和公式求出结果．【详解】由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．所以织布的数据构成等差数列，设公差为d，第一天织的数据为，第30天织的数据为，则：，第5页共20页解得：，则：，解得：，故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：数学文化知识的应用，等差数列的通项公式的应用和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8．如果一个几何体的三视图如图所示单位长度：，则此几何体的表面积是A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱柱正方体与四棱锥的组合体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是下部一个四棱柱正方体与上部是四棱锥的组合体，四棱柱正方体的棱长为1cm，故每个面的面积为：，四棱锥的底面边长为1cm，高为，故斜高为：，第6页共20页故每个侧面的面积为：，；故组合体的表面积；故选：A．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．若，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对数的运算性质可得，a，，再根据基本不等式即可求出．【详解】，，，a，．当且仅当时取等号．的最小值是．故选：D．第7页共20页【点睛】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．10．在正四棱柱中，，E为的中点，则直线BE与平面所形成角的余弦值为A．B．C．D．【答案】C【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面所形成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则1，，0，，1，，0，，，0，，，设平面的法向量y，，则，取，得2，，设直线BE与平面所形成角为，则．直线BE与平面所形成角的余弦值为．故选：C．第8页共20页【点睛】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意利用函数的图象的对称性，得出结论．【详解】函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，，令，，求得，故该函数的图象的对称中心为，．根据该函数图象关于点成中心对称，结合，则，故选：B．【点睛】第9页共20页本题主要考查函数的图象的对称性，属于基础题．12．已知中，，，，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在内部或边界上运动，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】以A为原点建立平面直角坐标系，通过两直线方程联立得M得坐标，然后用向量数量积公式得，最后用线性规划知识求得最大最小值．【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：则、、，设，，直线AM：，直线BC：，联立解得：，，，，设，则，第10页共20页在内部或边界上运动，当直线与直线BC重合时，z取得最大值，当直线，过原点A时，z取得最小值0，的最大值为，最小值为，故的取值范围为：，故选：B．【点睛】本题考查了直线方程、数量积、线性规划属中档题．二、填空题13．设x，y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示.目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方，显然顶点到原点的距离最大，所以【考点】简单的线性规划．14．计算：______．【答案】【解析】通分后利用两角和的正弦及倍角公式化简求值．【详解】第11页共20页由题，．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦，是基础题．15．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则满足的x的集合为______．【答案】或【解析】根据定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则，，可得或，可得或，即可求解x的集合．【详解】是定义在R上的偶函数，且在上递增；在上单调递减，且，则，由，可得或，要满足，即或，解得：或．故答案为：或【点睛】第12页共20页本题考查奇函数的定义，奇偶函数的单调性特点，增函数的定义，以及指数式和对数式的运算，指数函数和对数函数的单调性，解题时注意对数中的真数大于0．16．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：在内是单调函数；在上的值域为，则称区间为的“等值区间”下列函数中存在“等值区间”的有______．【答案】【解析】利用“等值区间”的定义，只要方程在定义域内存在两个不同实数根即可得出“等值区间”的两个端点值，然后验证单调性得答案．【详解】由，可得，解得或，函数在上为单调增函数，且值域为，有等值区间；令，当时，，函数无零点，当时，，由，可得，存在，满足，使得当时，，当时，，．无零点，即不存在“等值区间”；由，可得或．第13页共20页当时，在上为增函数，而对于，满足，，有等值区间；令，则，为单调减函数，又，方程仅有一解，故不存在“等值区间”．存在“等值区间”的有．故答案为：．【点睛】本题考查了系新定义“等值区间”、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知函数．求函数的最大值及取得最大值时相应的x的值；求的单调区间．【答案】（1），时，最大值为；（2）单调增区间为，；单调减区间为，.【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．直接求得函数最大值，再由求得使函数求得最大值的x值；利用复合函数的单调性求解的单调区间．第14页共20页【详解】由题函数的最大值为2，此时，即，；由，可得，．的单调增区间为，；由，可得，．的单调减区间为，．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是中档题．18．设等差数列的前n项和为，且满足，．求数列的通项公式；记，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项与公差，进一步确定等差数第15页共20页列的通项公式．利用的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用错位相减法求出数列的和．【详解】等差数列的前n项和为，且满足，．设首项为，公差为d，则：，整理得：解得：，，所以：．由得：，所以：，，得：，所以：，．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19．在中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知．求角A的大小；第16页共20页若的面积，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得的值，可得A的值．利用余弦定理求得a，再利用正弦定理求得的值．【详解】中，，，解得，．，的面积，．再由余弦定理可得，．【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，诱导公式、二倍角的余弦公式，属于中档题．20．已知圆C：，直线l：．Ⅰ求证：直线l与圆C必相交；Ⅱ求直线l被圆C截得的弦长最短时直线l的方程以及最短弦长．【答案】（1）详见解析；（2），.【解析】1根据直线l方程得到直线l恒过，求出距离小于半径，即可得到直线l与圆C必相交；2当直线直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，求出直线MC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为求出直线l斜率，根据M坐标确定出直线l方程，利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可．【详解】1证明：根据题意得：直线l：恒过点，第17页共20页圆心，半径为5，，为圆内，则直线l与圆C必相交；2当直线直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，设直线MC解析式为，把M与C坐标代入得：，解得：，，直线MC解析式为，直线l斜率为2，直线l过点M，直线l方程为，即；根据题意得：最短弦长为．【点睛】本题考查了直线与圆的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，恒过定点的直线方程，待定系数法求出一次函数解析式，垂径定理，以及勾股定理，根据题意确定出直线l恒过定点M是解本题的关键．21．如图，已知在直三棱柱中，，，，，点D是AB上的动点．求证：；若D是AB上的中点，求证：平面；求三棱锥的体积．第18页共20页【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】由余弦定理得BC，由勾股定理得，由面ABC得到，从而得到面，故AC；连接交于点E，则DE为的中位线，得到，从而得到面；过C作垂足为F，面，面积法求CF，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算．【详解】证明：在中，由，，，利用余弦定理得，则，为直角三角形，得．又面ABC，，而，面，则；证明：设交于点E，则E为的中点，连接DE，则DE为的中位线，则，又面，则面；解：在中，过C作垂足为F，由面面ABC，得面，．而，第19页共20页在中，由等面积法得，．【点睛】本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，考查三棱锥的体积的