5.2 平面向量基本定理及坐标表示

§5.2平面向量基本定理及坐标表示要点梳理1.两个向量的夹角（1）定义已知两个向量a和b,作=a，=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角θ的范围是,a与b同向时，夹角θ=;a与b反向时，夹角θ=.OAOB非零0°≤θ≤180°180°0°基础知识自主学习(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理定理：如果e1,e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数1,2,使a=.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.90°a⊥b不共线有且只有1e1+2e2基底(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对叫做向量a的坐标，记作a=，其中叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上的坐标.②设=xi+yj，则向量的坐标（x,y)就是，即若=（x,y），则A点坐标为,反之亦成立.（O是坐标原点）(x,y)xy(x,y)OAOAOA终点A的坐标（x,y）互相垂直3.平面向量的坐标运算（1）加法、减法、数乘运算.（2）向量坐标的求法已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与ba=.AB终点始点bx1y2-x2y1=0基础自测1.（2008·辽宁文，5）已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1）,且=2则顶点D的坐标为（）A.B.C.(3,2)D.(1,3)解析∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),∴=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设D（x，y),∵=(x,y-2),=2,∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=.BC,ADA)27,2()21,2(BCBCADAD272.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（）A.9B.6C.5D.3解析∵a∥b，∴12-2x=0，∴x=6.3.已知两点A（4，1），B（7，-3），则与同向的单位向量是（）A.B.C.D.解析∵A（4，1），B（7，-3），=（3，-4），∴与同向的单位向量为BAB)54,5()54,5()5,54()5,54(ABAB).5,53(||ABABA4.（2008·安徽理，3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则等于（）A.（-2，-4）B.（-3，-5）C.（3，5）D.（2，4）解析如图所示，（-1，-1），所以（-3，-5）.BABBDABACBCADABADBDAC5.已知向量a=（8,x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-2b)∥(2a+b)，则x的值为.解析a-2b=（8-2x,x-2），2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,x-2）=(16+x,x+1)8-2x=(16+x)x-2=(x+1)4212121x=4(x＞0).21题型一平面向量基本定理【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.直接用c、d表示、有难度，可换一个角度，由、表示、，进而解方程组可求、.思维启迪AMANABADABADABADAMANABAD题型分类深度剖析解方法一设=a，=b，则a==d+（b）①b==c+(a)②将②代入①得a=d+(),代入②得ABADNBAN21MDAM2121)]21([accda3234.3234)3234()21(dccdcb方法二设=a，=b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以b，a，c=b+aa=(2d-c)d=a+bb=(2c-d),即=（2d-c），=（2c-d）.ABAD21BN21DM因而21213232AB32AD32平面向量基本定理从理论上说明平面内任何一个向量都可以用一组基底表示.这就是说、一定能用c、d表示.本题用方程的思想使问题得以解决.ABAD探究提高知能迁移1如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若则m+n的值为.解析设=a，=b，（a+b）-,,ANnACAMmABABAC21AMAOMO,21)121(1baamm同理由∥得=①②①×②整理得m+n=2.答案2ba)121(21nNOMONONOMO即21)121(21121nm题型二向量的坐标运算【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.“以A、B、C为顶点的平行四边形”可以有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；（3）ABDC.解设D的坐标为（x,y）.(1)若是ABCD，则由得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),-1-x=-1,-2-y=2.思维启迪DCAB∴∴x=0,y=-4.∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.（2）若是ADBC，则由得（x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.∴D点坐标为（2，4）（如图中的D2）.（3）若是ABDC，则由得（0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.∴D点的坐标为（-2，0）（如图中的D3）.综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.CBADCDAB探究提高（1）要加强对向量的坐标与该向量起点、终点的关系的理解，以及对坐标运算的灵活应用.（2）向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式，更能利用代数知识解决，也是向量被广泛应用的基础.知能迁移2（2009·辽宁文，13）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为.解析设D点的坐标为（x,y）,由题意知,即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).(0,-2)ADBC题型三平行向量的坐标运算【例3】（12分）平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：（1）若（a+kc）∥(2b-a)，求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.（1）由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值.（2）由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程，解方程组即可得出x,y的值，从而求出d.思维启迪解（1）∵（a+kc）∥（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2分∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,4分∴k=-.6分（2）∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,4(x-4)-2(y-1)=0(x-4)2+(y-1)2=1,8分1316∴12分向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用.探究提高解得.55215545521554yxyx或10分).5525,5520()5525,5520(dd或知能迁移3已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）且（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t;若不能，请说明理由.解∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），∴=（1，2），=（4-1，5-2）=（3，3）.（1）设P（x，y），则=（x，y），若点P在第二象限，x＜0y＞0,ABtOAOPOAABOP则且(x,y)=(1,2)+t(3,3),x=1+3t1+3t＜0y=2+3t2+3t＞0,∴（2）因为=（1，2），（3-3t，3-3t），若四边形OABP为平行四边形，则3-3t=13-3t=2,无解，∴四边形OABP不可能为平行四边形.∴,∴.3132tOAOPOBPB.PBOA∴方法与技巧1.坐标的引入使向量的运算完全代数化，成了数形结合的载体，也加强了向量与解析几何的联系.2.中点坐标公式：P1（x1,y1）,P2(x2,y2),则P1P2中点P的坐标为在△ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为).2,2(2121yyxx,3(321xxx).3321yyy思想方法感悟提高失误与防范1.要区分点的坐标与向量的坐标的区别，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中同样有方向与大小的信息.2.在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：或3.数学上的向量是自由向量，向量x=(a,b)经过平移后得到的向量的坐标仍是（a,b）..2PBAP.2PBAP一、选择题1.（2009·湖北文，1）若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=（）A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b解析设c=xa+yb,则(4,2)=x(1,1)+y(-1,1),4=x-y,x=3.2=x+y.y=-1.定时检测B∴故c=3a-b.∴2.若a=(2cos,1),b=(sin,1),且a∥b，则tan等于（）A.2B.C.-2D.解析∵a∥b，∴2cos×1=sin.∴tan=2.2121A3.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b，若u∥v，则实数k的值为（）A.-1B.C.D.1解析∵u=（1，2）+k（0，1）=（1，2+k），v=（2，4）-（0，1）=（2，3），又u∥v，∴1×3=2（2+k），得k=.B2121214.（2009·重庆文，4）已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行，则实数x的值是（）A.-2B.0C.1D.2解析∵a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),a+b与4b-2a平行，则4x-2=2(1+x),∴x=2.D5.已知向量=（1，-3），=（2，-1），=（m+1，m-2），若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是（）A.m≠-2B.m≠C.m≠1D.m≠-1解析若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.∵(2，-1)-（1，-3）=(1，2)，（m+1，m-2）-（1，-3）=（m，m+1）.假设A、B、C三点共线，则1×(m+1)-2m=0,即m=1.∴若A、B、C三点能构成三角形，则m≠1.21OAOBOCOAOBABOAOCCAC6.已知O为原点，A、B是两定点，=a，=b，且点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于（）A.a-bB.2（a-b）C.2（b-a）D.b-a解析设=a=（x1，y1），=b=（x2，y2），则A（x1，y1），B（x2，y2）.设P（x，y），则由中点坐标公式可得Q（2x1-x,2y1-y）,R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y).∴(2x2-2x1,2y2-2y1)=2(x2,y2)-2(x1,y1),即=2（b-a）.O