高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入课件 文

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.考纲下载高考中复数的考查，知识点有两个，一是考查复数的几何意义，二是复数的代数运算，且都是以选择题、填空题的形式出现.请注意高考真题演练突破考点01突破考点02突破考点03课时作业突破考点01复数的有关概念（基础送分型——自主练透）1．复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和________．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若________，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔________(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________(a，b，c，d∈R)．4．复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝________.1.虚部a＝0且b≠02．a＝c且b＝d3．a＝c且b＝－d4.a2＋b2【调研1】(1)(2015·湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．iB．－iC．1D．－1【解析】∵i607＝i4×151＋3＝(i4)151·i3＝－i，∴i607的共轭复数为i.【答案】A(2)(2015·天津卷)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．【解析】∵(1－2i)(a＋i)＝2＋a＋(1－2a)i为纯虚数，∴1－2a≠0，2＋a＝0，解得a＝－2.【答案】－2(3)(2015·江苏卷)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由复数相等的定义得a2－b2＝3，2ab＝4，解得a＝2，b＝1或a＝－2，b＝－1.从而|z|＝a2＋b2＝5.【答案】5(4)已知m∈R，复数z＝mm－2m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时．(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限？【解】(1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0，解得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2)当z为纯虚数时，则有mm－2m－1＝0，m2＋2m－3≠0.解得m＝0或m＝2.∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．(3)当z对应的点位于复平面的第二象限时，则有mm－2m－10，m2＋2m－30，解得m－3或1m2.故当m－3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二象限．(1)复数的分类与对应点的位置都可以从复数z的实部、虚部两个方面施加影响，因此只需把复数化为代数形式，进而列出实部、虚部满足的方程(不等式)组．(2)利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化，解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式．突破考点02复数的几何意义（基础送分型——自主练透）1．复数z＝a＋bi←―――――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)←―――――→一一对应________.2.向量OZ→【调研2】(1)(2014·课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i【解析】由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.【答案】A(2)(2013·四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D【解析】设z＝－a＋bi(a0，b0)，则z的共轭复数z＝－a－bi.它对应的点为(－a，－b)，是第三象限的点，即图中的B点．【答案】B(3)(2016·山西四校联考)复数z＝i－2－i2(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】z＝i3＋4i＝4＋3i25＝425＋325i知z在复平面对应的点在第一象限．【答案】A(4)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC→＝λOA→＋μOB→，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．【解析】OC→＝(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)∴3＝－λ＋μ－4＝2λ－μ解得λ＝－1，μ＝2∴λ＋μ＝1.【答案】1复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机地结合在一起，能够更加灵活地解决问题．高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等．突破考点03复数的运算（基础送分型——自主练透）1．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝________(c＋di≠0)．2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝________.1.(1)(a＋c)＋(b＋d)i(2)(a－c)＋(b－d)i(3)(ac－bd)＋(ad＋bc)i(4)ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i2．z2＋z1z1＋(z2＋z3)【调研3】(1)(2015·山东卷)若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i【解析】z＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，选A.【答案】A(2)(2015·课标卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2【解析】∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i⇒4a＋(a2－4)i＝－4i，∴4a＝0，a2－4＝－4.解得a＝0.【答案】B(3)(2014·上海卷)若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z＋1z·z＝________.【解析】∵z＝1＋2i，∴z＝1－2i.∴z＋1z·z＝z·z＋1＝5＋1＝6.【答案】6(4)(2013·天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.【解析】∵(a＋i)(1＋i)＝a＋ai＋i＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i.又由已知(a＋i)(1＋i)＝bi，得a－1＝0，a＋1＝b.解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.【答案】1＋2i1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度．(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i；(4)a＋bii＝b－ai；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．