高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质练

1第1讲三角函数的图象与性质1．(2016·四川)为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动π3个单位长度C．向左平行移动π6个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度答案D解析由题意可知，y＝sin2x－π3＝sin2x－π6，则只需把y＝sin2x的图象向右平移π6个单位，故选D.2．(2016·课标全国甲)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)C．x＝kπ2－π12(k∈Z)D．x＝kπ2＋π12(k∈Z)答案B解析由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，得函数的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z)，故选B.3．(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5答案B2解析因为x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为f(x)的图象的对称轴，所以π4－－π4＝T4＋kT，即π2＝4k＋14T＝4k＋14·2πω，所以ω＝4k＋1(k∈N)，又因为f(x)在π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.4．(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．答案7解析在区间[0,3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cosx的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.3．诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－12，32)B．(－32，－12)3C．(－12，－32)D．(－32，12)(2)(2015·四川)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．答案(1)A(2)－1解析(1)设Q点的坐标为(x，y)，则x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.∴Q点的坐标为(－12，32)．(2)∵sinα＋2cosα＝0，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，又∵2sinαcosα－cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－1tan2α＋1，∴原式＝－－1－2＋1＝－1.思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1(1)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π4(2)如图，以Ox为始边作角α(0απ)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tanα＝________.答案(1)D(2)18254解析(1)tanθ＝cos34πsin34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π40，cos3π40，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义，得cosα＝－35，sinα＝45，∴原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosαα＋cosαsinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2×－352＝1825.热点二三角函数的图象及应用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y＝sinx―――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)10sin()yx横坐标变为原来的()倍纵坐标不变＝＋―――――――――――→纵坐标变为原来的AA倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．例2(1)(2015·山东)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0，0φπ)的图象如图所示，5则f(π3)的值为________．答案(1)B(2)1解析(1)∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，∴要得到y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位．(2)根据图象可知，A＝2，3T4＝11π12－π6，所以周期T＝π，由ω＝2πT＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0φπ，所以φ＝π6，则f(x)＝2sin(2x＋π6)，因此f(π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.思维升华(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．跟踪演练2(1)已知函数f(x)＝sinωx＋π3(x∈R，ω0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π3个单位长度6D．向右平移π3个单位长度(2)(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10答案(1)A(2)C解析(1)由题意知，函数f(x)的周期T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin2x＋π3，g(x)＝cos2x.把g(x)＝cos2x变形得g(x)＝sin2x＋π2＝sin[2(x＋π12)＋π3]，所以只要将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g(x)＝cos2x的图象．故选A.(2)由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.热点三三角函数的性质1．三角函数的单调区间：y＝sinx的单调递增区间是[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)．2．y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．7y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．例3(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．解(1)f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x＝cosxsinx－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin2x－π3－32，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x∈π6，2π3时，0≤2x－π3≤π，从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x－π3≤π，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．思维升华函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈[0，π6]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．解(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋π4)＋1＋a，则f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，且当2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，8即kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)时，f(x)单调递增．所以[kπ－3π8，kπ＋π8](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．(2)当x∈[0，π6]时⇒π4≤2x＋π4≤7π12，当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，sin(2x＋π4)＝1.所以f(x)max＝2＋1＋a＝2⇒a＝1－2.由2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π8(k∈Z)，故y＝f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π8，k∈Z.1．已知函数f(x)＝sinωx＋π5(x∈R，ω0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象()A．向左平移3π20个单位长度B．向右平移3π20个单位长度C．向左平移π5个单位长度D．向右平移π5个单位长度押题依据本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错．答案A解析先求出周期确定ω，求出两个函数解析式，然后结合平移法则求解．由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T＝π，所以ω＝2πT＝2，即f(x)＝sin2x＋π5，g(x)＝cos2x.把g(x)＝cos2x变形得g(x)＝sin2x＋π2＝sin[2(x＋3π20)＋π5]，所以要得到函数g(x)9的图象，只要将f(x)的图象向左平移3π20个单位长度．故选A.2．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝π4，M为QR的中点，PM＝25，则A的