7.1平面向量的概念及其线性运算

第七章平面向量7.1平面向量的概念及其线性运算考纲要求：1.了解向量的概念,掌握向量的表示方法.2.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量.3.掌握向量的加法、减法、数乘及其运算法则.4.掌握向量共线定理.知识要点1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量大小方向长度模零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量共线向量的非零向量又叫做共线向量0与任一向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0零相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反1个单位2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法则a－b＝a＋(－b)三角形三角形平行四边形b＋aa+(b＋c)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝.λ(μa)＝；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得.相同相反充要b＝λa0λμaλa＋μaλa＋λb[难点正本疑点清源]1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．1．下列说法正确的是()A.AB→∥CD→就是AB→所在的直线平行于CD→所在的直线B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在同一条直线上的向量2．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c3．λ∈R，则下列命题正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|＞04．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.5．化简OP→－QP→＋MS→－MQ→的结果等于________．6．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．7．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝________(用b、c表示)．23b+13c8．如图，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e29．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D解析BD→＝BC→＋CD→＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→，∴BD→与AB→共线．又∵有公共点B，∴A、B、D三点共线．A10.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（）A.B.C.D.CDBABC21BABC21BABC21BABC2111.已知向量a、b不共线，c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d，那么（）A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向12.下列各命题中，真命题的个数为（）①若|a|=|b|，则a=b或a=-b；②若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；③若a=b,b=c，则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.4B.3C.2D.1DCAB13.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形ABBCCD1.在平行四边形ABCD中,O是对角线AC和BD的交点,122,4ABeBCe,则212ee等于()A.AOB.BOC.COD.DO2.下列结论中正确的是（）A.两个模相等的向量是相等向量B.两个方向相反的向量是相反向量C.两个平行向量的方向相同D.两个单位向量的模相等3.若非零向量ba,，满足ba,则a与b关系一定是（）A.相等B.平行C.垂直D.相交考题再现4.若某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北30方向位移50m到达点C,再从点C向北偏西60方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）题型分类深度剖析ABBAABCD例8给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a与a|a|的关系是：a|a|是a方向上的单位向量．变式训练1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则ab；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等．例9如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a、b表示OM→、ON→、MN→.思维启迪：利用公式：AB→＋BC→＝AC→，AB→＝OB→－OA→.解∵BA→＝OA→－OB→＝a－b，BM→＝16BA→＝16a－16b，∴OM→＝OB→＋BM→＝16a＋56b.又OD→＝a＋b，∴ON→＝OC→＋13CD→＝12OD→＋16OD→＝23OD→＝23(a＋b)．∴MN→＝ON→－OM→＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.即OM→＝16a＋56b，ON→＝23a＋23b，MN→＝12a－16b.探究提高在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．变式训练21.△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB→＝a，AC→＝b，用a、b表示向量AE→、BC→、DE→、DN→、AM→、AN→.解DE→∥BC→AD→＝23AB→⇒AE＝23AC→＝23b，BC→＝AC→－AB→＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE→＝23BC→＝23(b－a)．又AM是△ABC的中线，DE∥BC，∴DN→＝12DE→＝13(b－a)．又AM→＝12(a＋b)，△ADN∽△ABMAD→＝23AB→⇒AN→＝23AM→＝13(a＋b)．2.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：CDBAFE21证明方法一：如图所示，∵E、F分别是AD、BC的中点，②由①＋②得，AEFBBAFEBAAEEFFBCFBFDEAE，又0.0,0①同理FCCDDEFEDCABEFDCABCFBFEDEADCABEF212方法二：如图所示，连接,,CEBE则,,CDDECEBAAEBE.212121CDBABAAECDDEBECEFE3.如图所示，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB→＝a，AD→＝b，试用a、b分别表示DC→、BC→、MN→.解析：连接AC.DC→＝12AB→＝12a，AC→＝AD→＋DC→＝b＋12a，BC→＝AC→－AB→＝b＋12a－a＝b－12a，NM→＝ND→＋DM→＝NA→＋AD→＋DM→＝－12a＋b＋14a＝b－14a，MN→＝－NM→＝14a－b.4.如图，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→、DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解析：(1)由题意，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，OB→＋OC→＝2OA→.∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)如题图，EC→∥DC→.又∵EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45.例10.设e1，e2是两个不共线向量，已知AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．思维启迪：(1)求向量BD→，观察AB→、BD→的关系，用BD→线性表示AB→.(2)由BD→与BF→共线，可得BD→＝λBF→，构建方程组求解．解(1)由已知得BD→＝CD→－CB→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵AB→＝2e1－8e2，∴AB→＝2BD→，又AB→与BD→有公共点B.∴A、B、D三点共线．(2)由(1)可知BD→＝e1－4e2，由BF→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，得BF→＝λBD→，即3e1－ke2＝λe1－4λe2得λ＝3－k＝－4λ，解得k＝12.探究提高(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．变式训练3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数