2015年广东省南海中学七校高考数学模拟试卷(理科)

2015年广东省南海中学七校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]2．下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2﹣xB．y=lnxC．y=x﹣2D．y=|x|﹣13．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”4．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．20B．22C．24D．285．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．46．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（）A．B．C．D．7．已知函数，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA上，且HA1=1．点E，F分别为棱B1C，C1C的中点，P是侧面BCC1B1内一动点，且满足PE⊥PF．则当点P运动时，|HP|2的最小值是（）A．7﹣B．27﹣6C．51﹣14D．14﹣2二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分）（一）必做题（9～13题）9．函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3）的定义域为．10．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为．11．已知圆O过椭圆的两焦点且关于直线x﹣y+1=0对称，则圆O的方程为．12．设函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是定义在R上的偶函数，则实数a=．13．已知长为的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上的一点，且，则点P的轨迹方程为．选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分.（坐标系与参数方程选讲选做题）14．已知曲线（θ为参数）与曲线（t为参数）有一个公共点，则实数k的值为．（几何证明选讲选做题）1015•南海区校级模拟）如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，已知CD=2，AB=BC=3，则AC的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．17．某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率1[25，30）1200.62[30，35）195P3[35，40）1000.54[40，45）a0.45[45，50）300.36[50，55）150.3（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求直线CC1与平面AC1D1所成角的正弦值．19．已知抛物线C：y=ax2（a＞0）上的点P（b，1）到焦点的距离为，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）如图，已知动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x﹣2上，且，现过A作C的切线，取左边的切点M，过B作C的切线，取右边的切点为N，当MN∥AB，求A点的横坐标t的值．20．已知数列{an}满足a1=，an=2﹣（n≥2），Sn是数列{bn}的前n项和，且有=1+bn．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）设cn=，记数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn＜1．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣bx+1（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）若b=0，h（x）=f（x）﹣g（x），∃x1、x2[1，2]使得h（x1）﹣h（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求b的取值范围．2015年广东省南海中学七校高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]考点：交集及其运算；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．解答：解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2﹣xB．y=lnxC．y=x﹣2D．y=|x|﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．解答：解：A，y=2﹣x定义域是{x|x≠0}，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则A不符合；B，函数y=lnx的定义域是（0，+∞），则是非奇非偶函数，B不符合题意；C，函数y=x﹣2的定义域是{x|x≠0}，但在（0，+∞）单调递减，C不符合题意；D，y=|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，D正确．故选：D．点评：本题考查函数奇偶性与单调性，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，以及基本函数奇偶性和单调性，考查了推理判断的能力．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．利用否命题的定义即可判断出；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，即可判断出；C．利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出；D．利用命题的否定即可判断出．解答：解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，因此“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，不正确；C．命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确．综上可得：只有C正确．故选：C．点评：本题考查了简易逻辑的判定，属于基础题．4．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．20B．22C．24D．28考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a8的值，然后再由等差数列的性质得到所求的式子与a8的值相等，即可求出所求式子的值．解答：解：由a4+a6+a8+a10+a12=（a4+a12）+（a6+a10）+a8=5a8=120，解得a8=24，且a8+a12=2a10，则2a10﹣a12=a8=24．故选C点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．4考点：双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．解答：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B．点评：本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．6．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量共线定理，可得若成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．解答：解：由得，即，则向量共线且方向相反，因此当向量共线且方向相反时，能使成立．对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反；C项中向量、的方向相同；D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A点评：本题给出非零向量、，求使成立的条件．着重考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于中档题．7．已知函数，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：先得到函数f（x）在定义域上是增函数，再由函数单调性定义求解即可．解答：解：由分段函数可得当x≥0时f（x）=x2+4x=（x+2）2﹣4为增函数，当x＜0时，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4为增函数，∴f（x）在定义域上是增函数（如图）若f（2﹣a2）＞f（a），则2﹣a2＞a，即a2+a﹣2＜0解得：﹣2＜a＜1∴实数a的取值范围是（﹣2，1），故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性定义在解不等式中的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．本题也可以直接利用数形结合进行判断．8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA上，且HA1=1．点E，F分别为棱B1C，C1C的中点，P是侧面BCC1B1内一动点，且满足PE⊥PF．则当点P运动