2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等关系与一元二次不等式课件 理

第1讲不等关系与一元二次不等式考试要求1.现实世界和日常生活中的不等关系、不等式(组)的实际背景，A级要求；2.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，B级要求；3.求解一元二次不等式，C级要求.知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b＞0⇔ab，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔ab；(2)作商法ab＞1⇔ab（a∈R，b＞0），ab＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），ab＜1⇔ab（a∈R，b＞0）.＞＜＞＜2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋cb＋c；a＞b，c＞d⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒acbc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒acbd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒nanb(n∈N，n≥2).＞＞＞＞＞＞3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x＞x2,或x＜x1}x|x≠－b2aR{x|x1＜x＜x2}∅∅诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞bc.()(3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()×√√××2.(2016·南通调研)已知ab0，给出下列四个不等式：①a2b2；②2a2b－1；③a－ba－b；④a3＋b32a2b.其中一定成立的不等式的序号为________.解析由ab0可得a2b2，①成立；由ab0可得ab－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，所以f(a)f(b－1)，即2a2b－1，②成立；因为ab0，所以ab，所以(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)0，所以a－ba－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35，2a2b＝36，a3＋b32a2b，④不成立.答案①②③3.(2015·广东卷)不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________(用区间表示).解析由－x2－3x＋4＞0，得x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1.答案(－4，1)4.已知不等式x2－2x＋k2－10对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是______________.解析由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)0，即k22，解得k2或k－2.答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)5.(苏教版必修5P80T8(1)改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________.解析由题意知Δ＝(m＋1)2＋4m＞0.即m2＋6m＋1＞0，解得m＞－3＋22或m＜－3－22.答案(－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)考点一不等式的性质及应用【例1】若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是________(填序号).解析法一因为1a＜1b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误.法二由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0.故有1a＋b＜1ab，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，所以a－1a＞b－1b，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.答案①③规律方法判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.【训练1】设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c).其中所有的正确结论的序号是________.解析由不等式性质及a＞b＞1知1a＜1b，又c＜0，所以ca＞cb，①正确；构造函数y＝xc，∵c＜0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又a＞b＞1，∴ac＜bc，知②正确；∵a＞b＞1，c＜0，∴a－c＞b－c＞1，∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，知③正确.答案①②③考点二一元二次不等式的解法[微题型1]不含参数的一元二次不等式的解法【例2－1】(1)(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________.(2)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x＜0，则不等式f(x)＞3的解集为________.解析(1)∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1x2.(2)由题意知x≥0，x2＋2x＞3或x＜0，－x2＋2x＞3，解得：x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}.答案(1){x|－1＜x＜2}(2){x|x＞1}规律方法解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.[微题型2]含参数的一元二次不等式的解法【例2－2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.(2)当a＞0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0，解得x≥2a或x≤－1.(3)当a＜0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.当2a＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当2a＜－1，即0＞a＞－2，解得2a≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为x|x≥2a，或x≤－1；当－2＜a＜0时，不等式的解集为x2a≤x≤－1；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为x|－1≤x≤2a.规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练2】(1)(2016·苏北四市模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是________.(2)解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R).(1)解析由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1，3)，∴a＜0.且1－aba＝2，－ba＝－3，解得a＝－1或13(舍去)，∴a＝－1，b＝－3.∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0，解得x＞12或x＜－32.答案x|x12或x－32(2)解①当k＝0时，不等式的解为x＞0.②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解.③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，不等式的解为x＜1＋1－k2k或x＞1－1－k2k；若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}.综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅；0＜k＜1时，不等式的解集为x|1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k；k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当－1＜k＜0时，不等式的解集为x|x＜1＋1－k2k，或x＞1－1－k2k；k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；k＜－1时，不等式的解集为R.考点三一元二次不等式的恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围.解(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0；若m≠0，则m＜0，Δ＝m2＋4m＜0，解得－4＜m＜0.所以实数m的取值范围是(－4，0].(2)有以下两种方法：法一由f(x)－m＋5，得mx2－mx－1－m＋5，即m(x2－x＋1)－60，因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，所以m＜6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可.所以，m的取值范围是m|m＜67.法二由f(x)－m＋5，得mx2－mx－1－m＋5，即mx－122＋34m－60，令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3].当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6＜0，所以m＜67，则0＜m＜67；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是m|m＜67.规律方法(1)在解决不等式ax2＋bx＋c＞0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【训练3】(1)设f(x)＝mx2－mx－1，求使f(x)＜0，且|m|≤1恒成立的x的取值范围.(2)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.解(1)将不等式f(x)＜0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1＜0.令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1，1].则g（－1）＜0，g（1）＜0，即－x2＋x－1＜0，x2－x－1＜0，解得1－52＜x＜1＋52，即x的取值范围为1－52，1＋52.(2)法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使