2014中考复习备战策略 数学PPT第26讲 解直角三角形及应用

宇轩图书第26讲解直角三角形及应用宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素即3条边和2个锐角)．考点一解直角三角形宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练温馨提示1.互余两角的三角函数值之间的关系：若∠A＋∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA.2.同角的三角函数值之间的关系：sin2A＋cos2A＝1；tanA＝sinAcosA宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．解直角三角形的类型已知条件解法两直角边(如a，b)由tanA＝ab，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝a2＋b2斜边、一直角边(如c，a)由sinA＝ac，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝c2－a2宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练已知条件解法一锐角与邻边(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝bcosA一锐角与对边(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝atanA；c＝asinA宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练已知条件解法斜边与一锐角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练温馨提示解直角三角形的思路可概括为“有斜斜边用弦正弦、余弦，无斜用切正切，宁乘勿除，取原避中”.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．考点二解直角三角形的应用宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫做坡度(或坡比)，即i＝tanα＝hl，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练4．方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点一解直角三角形例1(2013·上海)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8,tanC＝32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为________．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】首先规范的绘制出图形，如图，取AC的中点为点B′，作线段BB′的垂直平分线，那么该直线为直线l，并且DB＝DB′.作BC边的垂线AE，B′H，易知EC＝4，AE＝BH＝6，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练并且B′H为△AEC的中位线，B′H＝3，CH＝2.设BD＝x，则DH＝6－x.在Rt△B′DH中，∠B′HD＝90°，由勾股定理，可得(6－x)2＋32＝x2，解得x＝154，即BD＝154.【答案】154宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结解直角三角形时，结合图形，根据题目的已知条件，尽可能使用题目中给出的原始数据，一般常把锐角三角函数与勾股定理结合使用.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点二解斜三角形例2(2012·安徽)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．【点拨】作出△ABC斜边上的高，将三角形转化为两个含有特殊角的直角三角形．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∵∠A＝30°，AC＝23，∴CD＝AC·sin30°＝3，AD＝AC·cos30°＝3.∴BD＝CD＝3.∴AB＝AD＋BD＝3＋3.温馨提示当三角形不是直角三角形时，可以通过作高构造直角三角形求解.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点三锐角三角函数的应用例3(2013·天津)天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练如图，他们在点A处测得天塔的最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得天塔的最高点C的仰角为54°，AB＝112m．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD.(tan36°≈0.73，结果保留整数)【点拨】本题考查锐角三角函数的应用，仰角、俯角问题，是常见的类型．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解：如图，根据题意，知∠CAD＝45°，∠CBD＝54°，AB＝112m.∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD.又∵AD＝AB＋BD，∴BD＝AD－AB＝CD－112.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∵在Rt△BCD中，tan∠BCD＝BDCD，∠BCD＝90°－∠CBD＝36°.∴CD·tan36°＝BD＝CD－112，∴CD＝1121－tan36°≈1121－0.73≈415(m)．答：天塔的高度CD约为415m.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结仰角、俯角问题是常见的实际问题，一般题目中会出现两个不同的仰角、俯角或一个仰角、一个俯角.解决此类问题时，一般是先设出未知数，用同一个未知数表示问题中不同的未知量，然后根据问题中的数量关系列出方程求解.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为(A)A．4B．25C.181313D.121313宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点间的距离是(D)A．200米B．2003米C．2203米D．100(3＋1)米宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：∵∠ACD＝60°，CD＝100米，∴AD＝CD·tan∠ACD＝1003米．∵∠BCD＝45°，CD＝100米，∴BD＝CD＝100米．∴AB＝AD＋BD＝100(3＋1)米．故选D.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．某人想沿着梯子爬上高4m的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为(C)A．8mB．83mC.833mD.433m宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练4．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为40＋403海里(结果保留根号)．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：在Rt△APC中，AP＝402海里，∠APC＝45°，∴AC＝PC＝402×22＝40(海里)．在Rt△BPC中，∠B＝30°，BC＝PCtan30°＝40×33＝403(海里)．∴AB＝AC＋BC＝(40＋403)海里．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练5．为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB，如图，在山外一点C测得BC的距离为200米，∠CAB＝54°，∠CBA＝30°，求隧道AB的长．(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位)宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，∵∠CBA＝30°，BC＝200米．∴CD＝12BC＝100(米)，BD＝1003≈173(米)．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练在Rt△ACD中，∵tan∠CAB＝CDAD，∴AD＝100tan54°≈72(米)．∴AB＝AD＋BD＝245(米)．答：隧道AB的长约为245米．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练一、选择题(每小题5分，共50分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(A)A.365B.1225C.94D.334宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝92＋122＝15.又∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴CD＝AC·BCAB＝9×1215＝365，即点C到AB的距离是365.故选A.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．(2013·聊城)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为____米．(A)A．12B．43C．53D．63宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：迎水坡AB的坡比为1∶3，即BCAC＝13，∵BC＝6米，∴AC＝63(米)．在Rt△ABC中，AB＝BC2＋AC2＝12(米)．故选A.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．(2013·佛山)如图，若∠A＝60°，AC＝20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)(B)A．34.64mB．34.6mC．28.3mD．17.3m宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练4．(2013·兰州)△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝b解析：∵a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°.∵sinA＝ac，∴csinA＝a，∴A正确．故选A.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练5．如图，在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为(D)A．24米B．20米C．16米D．12米宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：如图，∵AB⊥BC，BC＝24米，∠ACB＝27°，∴AB＝BC·tan27°≈24×0.51≈12(米)．故选D.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练6．(2013·衢州)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6m，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，3≈1.73)(D)A．3.5