3.4基本不等式(经典)

3.4基本不等式:2abab一、问题引入ADCBHFGE22+abab新课探究22ab2ab222SabSab四个三角形大正方形ADCBHFGE=ab特别地，当时又有怎样的结论？ab22+=2abab新课探究一般地，对于任意实数，我们有,ab222abab当且仅当时等号成立ab思考：如何证明？222222()02ababababab证明：当且仅当时，此时ab2()0ab222ababADCBHFGEADCBHFGEabababab0,0,2abababab若则当且仅当时取等号2abab22abab0,02abababab当时，当且仅当时等号成立变形式：平方当且仅当a=b时，取“=”号0,02ababab（）能否用不等式的性质进行证明？小组合作：22______________00abababab要证：只要证：只要证：只要证：（__-__)显然上式成立.2ab2abab在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。RtRtACDDCB三角形三角形与相似基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”2ababE()ab当且仅当时，取号aCDCDb2CDabCDabP98探究2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解算术平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当用去替换中的,能得到什么结论?0,0ba,ab222ababba,基本不等式基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.222(ababaR、b）重要不等式：(0,0)2ababab注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。22R2()abababab如果，，那么当且仅当时，取号1.重要不等式002()abababab如果，，那么当且仅当时，取号2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立的要素：2abab（）（1）：看是否均为正数（2）：看不等号的方向（3）：看等号是否能取到简言之：一正二定三相等基本不等式当且仅当ab时等号成立当且仅当ab时等号成立(a0,b0)2abab2(0,0)ababab222abab0,02ababab2（）结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值已知x＞1,求x＋的最小值以及取得最小值时x的值。11x解：∵x＞1∴x－1＞0∴x＋＝（x－1）＋＋1≥2＋1＝311x)1(1x)1(1)1(xx当且仅当x－1＝时取“＝”号.于是x＝2或者x＝0（舍去）11x答：最小值是3，取得最小值时x的值为2例1:构造积为定值通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.例题讲解;1,0)1(1的最值求已知：　例xxx.21xx1x2121:时原式有最小值即当且仅当解xxxx;1,0)2(的最值求已知xxx有最值，并求其最值。为何值时，函数当函数若xxxyx,31,3)3(结论1：两个正数积为定值，则和有最小值5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3xxxx　　　、解。最大值为时，函数有最大值，即当且仅当54,313xxx.21xx1x2)1()(2)]x1()x[(1:2时有最大值即　当且仅当、解xxxx,41,41121,0,0xyxyyxxyyxyx解124929291xyyx例3已知x0,y0,且x+y=1求的最小值．yx91例题讲解(1)基本不等式取等号的条件(2)“1”的代换在不等式中的应用12时，有最小值当且仅当yx正确？错例2．（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？2m,,xmym解：设矩形菜园的长为宽为210022()40xyxyxyxy由可得：100,2()xyxym则篱笆的长为xy等号当且仅当时成立，10xy此时因此这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？,,xmym解：设矩形菜园的长为宽为2()3618,xyxy则1822xyxy==92xym矩形菜园的面积为S=xy当且仅当时等号成立，2.这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m81xy解法一：(2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中0＜x＜18,解法二：其面积为:)236(221)236(xxxxS.162836)22362(2122xx当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，即菜园长18m，宽为9m时菜园面积最大为162m2.解：【例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为,水池的总造价为y元，根据题意，得x160048001600150120(2323)3yxx1600240000720()xxxx16002720240000＋.297600402720240000＋1600,40,2976000.xxyx即时有最小值因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元赵老师花10万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万.则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?综合应用分析：“年平均费用”的含义？解：设使用x年后，年平均费用为y万元，则xxxxxy102.02)1(2.09.0xxx101.021101.0xx110x100.1x20.1有最小值时，当且仅当yxx即当x=10时，y有最小值3万元答：使用10年后，年平均费用最少。(,)3203271xyxyxyy当点在直线上移动时，求的最小值.33333332711123123173331173233,xyxyxyxyxyyxyxy解：当且仅当=即时取得等号此时最小值为变式训练知识要点：基本不等式的条件:结构特征:思想方法技巧：（1）数形结合思想（2）换元法课堂总结一正、二定、三相等和、积.理解均值不等式的关系:222若,,则22ababababRabab