平面向量的坐标表示与运算

２.３平面向量的坐标运算２.３平面向量的坐标运算平面向量的坐标表示３．在平面内有点A和点B，怎样表示向量AB１．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？２．分别与x轴、y轴方向相同的两单位向量i、j能否作为基底？OxyijABCDoxyij思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设，填空：,OAiOBj（1）||_____,||______,||______;ijOC（2）若用来表示，则：,ij,OCOD________,_________.OCOD34ij57ij1153547（3）向量能否由表示出来？CD,ij23CDij探索1:以O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？oPxya4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiyjxy向量的坐标表示O向量P（x，y）一一对应OP1、把a=xi+yj称为向量基底形式.2、把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标,记为：a=(x,y),称其为向量的坐标形式.3、a=xi+yj=(x,y)4、其中x、y叫做a在X、Y轴上的坐标.单位向量i=（1，0），j=（0，1）CO　　例1　如图，已知A(-1,3),B(1,-3)，C(4,1)，D(3,4)，求向量OA,OB,AO,OD,的坐标。xyBDCOA练习已知o是坐标原点,点A在第一象限,∠XOA=60°,则向量的坐标为.│OA│=4,OA在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?探索2:解决方案:已知．求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO),(),(2211yxyx),(1212yyxx解：OAOBAB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．思考:OxyijaA(x,y)a2．用坐标表示两个向量相等1．点A的坐标与向量a的坐标的关系？1212,abxxyy向量a坐标（x，y）一一对应若a以原点为起点,两者相同3.(,)aOAxy22aOAxy，则有：2121(,)ABxxyy222121||()()ABxxyy4.若A，B，则11(,)xy22(,)xy２.３平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算已知a，b，求a+b，a-b．),(11yx),(22yx解：a+b=(i+j)+(i+j)1x1y2x2y=（+)i+（+)j1x2x1y2y即),(2121yyxxa+b同理可得a-b),(2121yyxx两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相对应坐标的和与差),(yxa实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．２.３平面向量的坐标运算例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求：(1)a+b，a-b的坐标;(2)与3a+2b共线的单位向量．解（1）a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a-2b=3（2，1）-2（-3，4）=（6，3）-（-6，8）=（12，-5）|3a-2b|=|（12，-5）|=13所以与3a-2b共线的单位向量是（2）321125(12,5)(,)131313|32|abab２.３平面向量的坐标运算例3．已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为（x，y）），（）），（　211321(AB)4,3(yxDC，得由DCAB)4,3()2,1(yxyx4231　　　22yx），的坐标为（　顶点22D1122(,),(,)(1)xyxyP121212　　例3　　已知PP，P是直线PP上的一点，且PPPP，求点的坐标。4│OA│=2,OAABAB+3BC=0OC练习11.已知o是坐标原点,点A在第二象限,∠XOA=150°,则向量的坐标为.2.已知a=(-1,2),b=(1,-2),则a+b=,a-b=.3.已知a=(x-2,3),b=(1,y+2),且a=b,则x=,y=.4.已知A(1,2),B(3,2),向量a=(x+3,x-3y-4)与相等,求实数x的值.5.已知o是坐标原点,A(2,-1),B(-4,8),求的坐标.练习21、下列向量中不是单位向量的有个③c=①a=(cos,sin)(lg2,lg5)(2,2)xx②b=④d=(1-x,x)2、已知单位正方形ABCD，求的模。,,,ABaBCbACc23abc3.(3,1),||5,4.(sincos,sincos),ppmm已知且则已知则的长度为OAABOPOPOAtABOPOAtAB3t+10,3t+20　,2133t思考：如果已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及若点P在第二象限内，则点t的取值范围是？O(0,0),A(1,2),B(4,5)=（1，2），=（3，3）,而=（1，2）+t(3,3)=(3t+1,3t+2),P(3t+1,3t+2)，而点P在第二象限内解得解：探究3：两个向量共线的坐标表示向量平行的坐标表示：即：两个向量共线等价于交叉相乘，积相等1122(,),(,),axybxy1221//0abxyxy若向量则有210,(3,4)//.ababa例题、已知且，求向量babyxayxa//),4,3(10),,(22又则解：设8686yxyx或解得：0341022yxyx)8,6()8,6(aa或5练习1212[0,2),(cos,sin)(3cos,4sin),||OPOPPP已知则的取值范围是1.2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2)c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k(4)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.课堂小结:2加、减法法则.a+b=(x2,y2)+(x1,y1)=(x2+x1,y2+y1)3实数与向量积的运算法则：λa=λ(x,y)=(λx,λy)4向量坐标.1向量坐标定义.若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2–y1)ABa-b=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)5、坐标形式下向量的模；6、单位向量7、向量共线