2012届高考数学第一轮复习――第七单元 平面向量

数学理科☆2012届高考数学第一轮复习★第七单元平面向量第一节平面向量的的概念及其线性运算1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量模零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1的向量常用e表示平等向量方向相同或相反的非零向量a与b共线可记为a∥b0与任一向量共线共线向量平行向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量a=b相反向量长度相等且方向相反的向量(1)a与b为相反的向量，则a=-b(2)0的相反向量为0ABAB2.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：a+b=b+a（2）结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ=0时，λa=0λ(μa)=(λμ)a；（λ+μ)a=λa+aμ；λ（a+b)=λa+λb。3.共线向量定理非零a向量与向量b共线的充要条件，存在唯一一个实数λ，使b=λa。题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列五个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同；②若|a|=|b|，则a=b；③在中ABCD，一定有；④若m=n，n=p，则m=p；⑤若a∥b,b∥c，则a∥c。其中不正确的个数是（）A.2B.3C.4D.5DCAB分析在正确理解有关概念的基础上，注意特殊的情况，是解决本题的关键解选Ｂ。两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|=|b|但a,b方向不确定，所以a,b不一定相等，故②不正确；③、④正确；零向量与任一非零向量都平行，当b=0时，a与c不一定平行，故⑤不正确。学后反思（1）着重理解以下几个方面：①向量的模；②向量的方向；③向量的几何表示；④向量的起点和终点（2）判断两个向量的关系时，特别注意以下两种特列的情况：①零向量与任何向量共线；②单位向量的长度为1，方向不固定。1.已知下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b中的一个方向相同；②在△ABC中，必有③若则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a与b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等。其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.30CABCAB举一反三0CABCAB解析：①错误，a+b=0时，就不满足结论；②正确∵③错误，A、B、C、三点还可以共线；④错误，只有a与b同向时才相等。0ACACCABCAB题型二平面向量的线性运算【例2】如图，D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点。求证：。0CFBEAD分析在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢，即用来分别表示待求的向量。ACBC，AB,答案：B证明：因为所以即同理所以故,,BDABADCDACAD,2BDCDABACAD.2ABACAD.2,2CBCACFBCBABE.0)(2CBCABCBAABACCFBEAD.0CFBEAD学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合，求解此类问题应注意：（1）结合图形，选择关系明确的一组不共线向量来表示其它向量，选择恰当的运算关系。（2）注意特殊点的应用。如线段AB的中点为P，则有（其中O为任一点）)(21OBOAOP举一反三2.在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA；在OB上取点D，使DC与OA交于E；设试用a，b表示向量及向量,31OBDB,,bOBaOAOCDC解析：∵A是BC的中点，∴即),(21OCOBOAbaOBOAOC22.22353232babbaOBOCODOCDC题型三向量的共线问题【例3】设两非零向量a和b不共线，如果求证：A、B、C三点共线。.82),(3,baBCbaCDbaAB分析用向量法证明A、B、D三点共，可以利用共线向量定理，行到（或等）。说明直线BC和AB平行或重合；因为有公共点B，所以只能重合；从而由向量共线推出三点共线。ABBDABADBD∥AB证明由向量共线定理得，又直线AB和BD有公共点B，因此A、B、D、三点共线BD∥AB.5),(58233,82,82ABBDbababaCBCDBDbaBCbaBC学后反思（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量；要注意待定系数法的运用和方程思想。（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，解题中应强调“直线AB与BD有公共点B”这一步骤。举一反三3.设两个非零向量不共线，已知若A、B、D三点共线，试求k的值。21,ee.2,3,2212121eeCDeeCBkeeAB解析：若A、B、D三点共线，则∥从而存在唯一一实数λ，使=即整理得解得即k为-8时，A、B、D三点共线。.4)3(2212121eeeeeeCBCDPDABPDAB,BD),4(22121eekee,)4()2(21eke82040221kk，、ee解得不共线题型四向量知识的综合应用【例4】？cbad，。eeeeceebeea共线与使向量问是否存在这样的实数个非零不共线向量为两其中已知向量2,1,2912,2312,2312分析运用向量共线的条件，确定是否存在实数k，使得d=kc.'4.)33()22()32()32(212121eeeeeebad解要使c∥d，则应存在实数k，使d=kc，'6'122'10.2,933222,'8,92)92()33()22(2121211共线与就能使满足故存在这样的实数不共线即cd，，，kk，eekekeeeke学后反思。kkekekee，ee构造方程来求解的本题正是利用这一结论则有若不共线设2211221121121,2,举一反三4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足若实数λ满足求λ的值,0PCPBPAAPACAB.3,33,,0.2,,即又即PAAPPAPAPCPBPCPBPAAPPAPCPBAPPAPCPAPBAPACAB解析：1.若a、b为非零向量，且︱a+b︱=︱a︱+︱b︱，则有（）A.a∥b且a、b方向相同B.a=bC.a=-bD.以上都不对解析：由条件易得a∥b，且a、b方向相同。答案：A6.化简以下各式结果为零向量的个数是。.)4(;)3(;)2(;)1(MPMNQPNQADODOACDBDACABCABCAB解析：∴结果为零向量的个数是4。.0)4(.0)3(.0)()2(.0)1(MPMPMPQPNQMNMPMNQPNQODODODADOAADODOADAADCDACBDABCDBDACABCAACCABCAB10..12)2(1)1(.),6,4(),2,0()2009(222121时的值的面积为且求当若三点共线为何实数不论时当求证为坐标原点已知江苏模拟ABMABOM，at；，A、B、Mt，t：ABtOAtOMB，AO.2.2,1212242121,12,122202:,24),,(.41,04)24(44,),4,4().24,4(,)2(.,)4,4()4,4(),4,4().24,4(1).42,4()4,4()2,0()1(222222222222222122222212122121故所求的值为解得的距离为到直线点又故又时当三点共线时当证明aadABSaaadyxABMABaaOMatattABOMABattOMatA、、M、ABttttOAOMAMOAOBABttOM，ttttttABtOAtOM：ABM解析：第二节平面向量的基本定理及坐标表示1.两个向量的夹角.,90)3(.180;0,1800)2(.,,,)1(babababa，babaAOBbOBaOAba垂直记作与是则夹角与如果向量向量垂直反向时夹角与夹角同向时与的范围是向量夹角范围的夹角与叫做向量则作和已知两个非零向量定义2.平面向量基本定理).(),(),(),(,.,),(),(.,.,)3()2(,.,)1(2122112121是坐标原点反之亦成立点坐标为则即若的坐标就是终点的坐标则向量设轴上坐标在叫轴上的坐标在叫其中记作的坐标叫做向量把有序实数对使有且只有一对实数对于平面内的一个向量作为基底量向轴方向相同的两个单位轴分别取与在平面直角坐标系中平面向量的坐标表示叫做把向量正交分解互相垂直的向量把一个向量分解为两一平面向量的正交分解有向量的一组基底叫做表示这一平面内所不共线的向量其中使有且只有一对实数的任意向量那么对于这一平面内共线向量是同一平面内的两个不如果定理平面向量基本定理O，yxA，yxOA，AyxOAyjxiOA②yayxax，yxa，ayxyixiayxa，ji、yx，①，ee，eea，、a，a，ee：3.平面向量的坐标运算（1）加法、减法、数乘运算向量aba+ba-bλa坐标),(11yx),(22yx),(2121yyxx),(2121yyxx),(11yx.0),(),,()3(),(),(),()2(1221221112122211yxyxbaba，b，yxbyxa，yyxxAB，yx，ByxA共线与则其中设示平面向量共线的坐标表标终点的坐标减去始点坐向量的坐标等于该向量即一个则已知向量坐标的求法题型一平面向量基本定理【例1】.,,,,21,41OMbabOBaOAM，BCADOBODOAOC，ABC，为基底表示以设交于点与中在如图分析本题可用待定系数法，设，再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程式，确定m，n值),(RnmnbmaOM解.7371,73,71,14,12.14,14141,41,)41(.12,2111.2121,)1(),,(baOMnmnmnmnmnm，C，，M，baOCOBCBnbamOCOMCMnmnm，A，，M，baabOAODADnbamOAOMAMRnmnbmaOM所以解得由即所以三点共线又因为而即所以三点共线因为则设学后反思（1）在平面向量基本定理的应用中，当基底确定后，向量的表示是唯一的。合理的选取基底会给解题带来方便。（2）解决该问题，用基底表示向量是基本方法，还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用。举一反三.11,,,的值试求的重心过如图nmnbOQmaOPbOBaOAG，ABO，PQ1..311,)(31,91)31)(31(∥.)31(31)(31.31)31()(31),(31)(32,nmmnnmnmGQGPbnabanbDGOQGQbambamaOGOPGPbaOBOAOGABOG即又的重心是解析：题