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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高一数学必修一第1章小结课件
人教A版必修一·新课标·数学本章小结人教A版必修一·新课标·数学对应学生用书P44人教A版必修一·新课标·数学人教A版必修一·新课标·数学对应学生用书P44一、学习集合应该注意的问题目前在中学数学中,集合知识主要有两方面的应用:(1)把集合作为一种数学语言,以表达一定范围或具有某些特性的元素.例如,方程(或方程组)的解集、不等式(或不等式组)的解集、具有某种性质或满足某些条件的数集、点集等.人教A版必修一·新课标·数学(2)运用集合间的基本关系和运算的思想解决某些抽象而复杂的问题.例如,利用集合间的基本关系及运算帮助理解事件间的关系,充分必要条件等(以后将要学习).有时从正面解题较难时,可以考虑用补集的思想求解.1.要注意理解、正确运用集合概念人教A版必修一·新课标·数学思路分析:有的同学一接触此题马上得出结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到组成两个集合的元素是不同的,集合P是函数值域集合,集合Q是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.【例1】若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有()A.P∩Q=ØB.PQC.P=QD.PQ人教A版必修一·新课标·数学解:P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此P∩Q=Ø,故选A.答案:A人教A版必修一·新课标·数学思路分析:要解决a的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据集合的运算及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式.2.要充分注意集合元素的互异性集合元素的互异性,是集合的重要属性,在解题过程中,集合元素的互异性常常被忽视而出错.【例2】若A={2,4,a3-2a2-a+7},B={1,a+1,a2-2a+2,-12(a2-3a-8),a3+a2+3a+7},且A∩B={2,5},试求实数a的值.人教A版必修一·新课标·数学解:∵A∩B={2,5},∴a3-2a2-a+7=5,由此求得a=2,或a=±1.当a=1时,a2-2a+2=1,与元素的互异性矛盾,故舍去;当a=-1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故舍去;当a=2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设.故a=2为所求.人教A版必修一·新课标·数学3.要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题,在我们解答数学问题过程中经常遇到.集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.【例3】集合X={x|x=2n+1,n∈Z},Y={y|y=4k±1,k∈Z},试证明X=Y.思路分析:要证明X=Y,按集合相等的定义,应证明X⊆Y,且Y⊆X.人教A版必修一·新课标·数学证明:(1)设任意x0∈X,则x0=2n0+1,n0∈Z.①若n0是偶数,可设n0=2m,m∈Z,则x0=2·2m+1=4m+1,∴x0∈Y;②若n0是奇数,可设n0=2m-1,m∈Z,则x0=2(2m-1)+1=4m-1,∴x0∈Y.∴不论n0是偶数还是奇数,都有x0∈Y,∴X⊆Y.(2)又设任意y0∈Y,则y0=4k0+1,或y0=4k0-1,k0∈Z.∵y0=4k0+1=2(2k0)+1,y0=4k0-1=2(2k0-1)+1,2k0和2k0-1都属于Z,∴y0∈X,∴Y⊆X.由(1)(2)可知,X=Y.人教A版必修一·新课标·数学4.要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在解决集合之间关系问题时,它往往易被忽视而引起解题失误.【例4】已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B=A,求实数a组成的集合C.思路分析:B⊆A包括两种情况,即B=Ø和B≠Ø.人教A版必修一·新课标·数学解:∵A∪B=A,∴B⊆A.(1)当B≠Ø时,由x2-3x+2=0,得x=1或2.当x=1时,a=2;当x=2时,a=1.(2)当B=Ø时,即当a=0时,B=Ø,符合题意.故实数a组成的集合C={0,1,2}.人教A版必修一·新课标·数学二、函数的概念、表示及其应用对于函数的概念及其表示要注意:1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.2.定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数,两者需同时具备.3.函数定义域的求法.列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可.求函数的定义域,常涉及到的依据为:①分母不为0;②偶次根式被开方数不小于0;③零指数幂中底数不等于零;④实际问题要考虑实际意义等.人教A版必修一·新课标·数学4.求抽象函数定义域的方法:(1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f[g(x)]的定义域,就是求不等式a≤g(x)≤b的解集.(2)已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,就是求当x∈[a,b]时,g(x)的值域.5.求函数解析式的常用方法:(1)定义法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)构造法;(5)消去法.6.求函数值域的方法:(1)配方法;(2)分离常数法;(3)换元法;(4)判别式法;(5)单调性法;(6)不等式法.人教A版必修一·新课标·数学【例5】已知函数f(x)=2x-1,g(x)=x2,x≥0,-1,x0,求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式.思路分析:由于g(x)是分段函数,所以应按x≥0和x0分别求f[g(x)]的解析式;按x≥12和x12分别求g[f(x)]的解析式,然后再用分段函数表示.人教A版必修一·新课标·数学解:当x≥0时,g(x)=x2,∴f[g(x)]=2x2-1;当x0时,g(x)=-1,∴f[g(x)]=2×(-1)-1=-3.∴f[g(x)]=2x2-1,x≥0,-3,x0.当2x-1≥0,即x≥12时,g[f(x)]=(2x-1)2;当2x-10,即x12时,g[f(x)]=-1.∴g[f(x)]=2x-12,x≥12,-1,x12.人教A版必修一·新课标·数学温馨提示:求解分段函数及复合函数的有关问题时,应注意复合函数中“内”层函数的值域充当“外”层函数的定义域,不能笼统地写在一起,而应分段讨论.人教A版必修一·新课标·数学【例6】已知二次函数f(x)=x2+ax+b,A={x|f(x)=2x}={22},则f(x)的解析式为________.答案:f(x)=x2-42x+484温馨提示:求解析式的关键是求解参数.解析:由{x|f(x)=2x}={22}得方程x2+ax+b=2x有两个等根22.根据韦达定理x1+x2=2-a=44,x1x2=b=484,解得a=-42,b=484,所以f(x)=x2-42x+484.人教A版必修一·新课标·数学【例7】求下列函数的值域:(1)y=x2-xx2-x+1;(2)y=x-1-2x.思路分析:依据结构决定方法可知:(1)可采用配方法和判别式法求解;(2)可采用单调性法,即运用y=x和y=-1-2x均为增函数求解,也可以令t=1-2x(t≥0),用换元法求解.人教A版必修一·新课标·数学(1)解法一:(配方法)y=x2-xx2-x+1=x2-x+1-1x2-x+1=1-1x2-x+1=1-1x-122+34.∵(x-12)2+34≥34,∴01x-122+34≤43.∴-13≤y1,故值域为[-13,1).人教A版必修一·新课标·数学解法二:(判别式法)由y=x2-xx2-x+1,得(y-1)x2+(1-y)x+y=0.∵y=1时,x无解,∴y≠1.又x∈R,∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-13≤y≤1,又y≠1,∴y∈[-13,1).人教A版必修一·新课标·数学(2)解法一:(单调性法)函数的定义域为{x|x≤12},函数y=x及y=-1-2x均在x∈(-∞,12]上是增函数,故y≤12-1-2×12=12,故函数的值域为(-∞,12].解法二:(换元法)令1-2x=t,则t≥0且x=1-t22,∴y=-12(t+1)2+1≤12(t≥0).∴函数的值域为(-∞,12].人教A版必修一·新课标·数学温馨提示:求函数的值域无固定的格式方法,应具体问题具体分析,注意观察函数的结构特点,选择适当的方法求值域,勿忘优先考虑定义域.人教A版必修一·新课标·数学三、函数的单调性、奇偶性及其应用函数的单调性、奇偶性是高考考查的重要内容,要掌握判断函数单调性的步骤,掌握奇函数、偶函数的性质以及运用函数单调性、奇偶性求函数最大(小)值的方法.【例8】已知函数f(x)=1a-1x(a0,x0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;(2)若f(x)在[12,2]上的值域是[12,2],求a的值.思路分析:(1)利用函数单调性的定义证明;(2)由f(x)在[12,2]上的最大值为2,最小值为12,建立a的等式求a的值.人教A版必修一·新课标·数学(1)证明:设x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=--(-)=,∵0x1x2,∴x1-x20,x1x20.∴f(x1)-f(x2)0.即f(x1)f(x2).则f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.人教A版必修一·新课标·数学(2)解:∵f(x)在[12,2]上的值域是[12,2],又f(x)在[12,2]上是增函数,∴f(12)=12,f(2)=2.∴1a-2=12且1a-12=2,解得,a=25,则所求a的值为25.人教A版必修一·新课标·数学思路分析:求函数在某区间上的最值,通常先判断函数在该区间上的单调性,当函数或区间中含有字母时,要对字母加以讨论,以确定函数的单调性.【例9】已知函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞).(1)当a=4时,求f(x)的最小值;(2)当a=12时,求f(x)的最小值;(3)若a为正数,求f(x)的最小值.人教A版必修一·新课标·数学解:(1)当a=4时,f(x)=x+4x+2,易证f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数.所以,f(x)的最小值为f(2)=6.(2)当a=12时,f(x)=x+12x+2,易证f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以,f(x)的最小值为f(1)=72.人教A版必修一·新课标·数学(3)可证函数f(x)=x+ax+2,在(0,a]上是减函数,在[a,+∞)上是增函数.若a1,即a1时,f(x)在区间[1,+∞)上先减后增,所以f(x)的最小值为f(a)=2a+2;若a≤1,即0a≤1时,f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,所以f(x)的最小值为f(1)=a+3.人教A版必修一·新课标·数学【例10】已知函数f(x)=mx2+23x+n是奇函数,且f(2)=53.(1)求实数m和n的值;(2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性.思路分析:根据函数的奇偶性及f(2)=53,列出方程组求解.人教A版必修一·新课标·数学解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴mx2+2-3x+n=-mx2+23x+n=mx2+2-3x-n.比较得n=-n,∴n=0.又∵f(2)=53,∴4m+26=53,解得m=2,即实数m和n的值分别是2和0.(2)函数f(x)在(-∞,-1]上为增函数,在[-1,0)上为减函数.
本文标题:高一数学必修一第1章小结课件
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