一轮复习空间点线面的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：经过的三点,有且只有一个平面．(即可以确定一个平面)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有通过这个点的公共直线．1．公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；平行公理是对初中平行线的传递性在空间中的推广．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理两点不在同一条直线上一条2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线异面直线：不同在一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理平行相交任何锐角(或直角)1．公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；平行公理是对初中平行线的传递性在空间中的推广．②范围：0，π2.3．直线与平面的位置关系有、、三种情况．4．平面与平面的位置关系有、两种情况．5．平行公理平行于的两条直线互相平行．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理平行相交在平面内平行相交同一条直线2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理相等或互补2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．题型分类·深度剖析题型一平面基本性质的应用【例1】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．解析思维启迪探究提高题型分类·深度剖析题型一平面基本性质的应用证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线，再证明其余点也在该直线上．解析思维启迪探究提高【例1】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．题型分类·深度剖析题型一平面基本性质的应用如图所示，∵A1A∥C1C，∴A1A，C1C确定平面A1C.解析思维启迪探究提高【例1】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．∵A1C平面A1C，O∈A1C，∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．题型分类·深度剖析题型一平面基本性质的应用∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C，∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，解析思维启迪探究提高【例1】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．变式训练1如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)连接EF，CD1，A1B.题型分类·深度剖析∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EFCD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．【例2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高空间两直线的位置关系题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.空间两直线的位置关系又∵A1A綊C1C，【例2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，空间两直线的位置关系∴B、C、C1、D1不共面．【例2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．变式训练2已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．题型分类·深度剖析证明(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．∴BC与AD是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG、FH是▱EFGH的对角线，∴EG与FH相交．【例3】正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．题型分类·深度剖析题型三异面直线所成的角思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高解(1)如图所示，连接B1C，由ABCD—A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．异面直线所成的角【例3】正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，异面直线所成的角【例3】正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.变式训练3直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析如图，可补成一个正方体，题型分类·深度剖析∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角．C1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件解析若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．A2．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．3解析C经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为()A．1B．2C．3D．4解析有2条：A1B和A1C1.B5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．1或4