吹管音乐滤波去噪――使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器

《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第１页共19页吹管音乐滤波去噪——使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器学生姓名：指导老师：摘要本课程设计主要内容是设计利用脉冲响应不变设计法选设计一个IIR巴特沃斯滤波器，对一段含噪吹管音乐信号进行滤波去噪处理并根据滤波前后的波形和频谱分析滤波性能。本课程设计仿真平台为MATLAB7.0，开发工具是M语言编程。首先在网上下载一段吹管音乐信号，并人为加入一单频噪声，然后对信号进行频谱分析以确定所加噪声频率为3100Hz，并设计滤波器进行滤波去噪处理，最后比较滤波前后的波形和频谱基本相同。由分析结果可知，滤波器后的吹管音乐信号与原始信号基本一致，即设计的IIR巴特沃斯滤波器能够去除信号中所加单频噪声，达到了设计目的。关键词课程设计；滤波去噪；IIR滤波器；脉冲响应不变法；巴特沃斯；MATLAB1引言本课程设计主要解决在含噪情况下对吹管音乐信号的滤波去噪处理，处理时采用的是利用脉冲响应不变设计法设计的IIR巴特沃斯滤波器[1]。1.1课程设计目的课程设计是教学的最后一个步骤，课程设计有利于基础知识的理解，我们掌握了基础知识和基本技能，但是要接触才能真正理解课程的深入部分；还有利于逻辑思维的锻炼，在许多常规学科的日常教学中，我们不难发现这样一个现象，不少学生的思维常常处于混乱的状态，写起作文来前言不搭后语，解起数学题来步骤混乱，这些都是缺乏思维训练的结果，所以我们可以通过实践来分析问题、解决问题、预测目标等目的；同时《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第２页共19页也有利于与其他学科的整合，例如我们这次的课程设计就要运用MATLAB软件的帮助才能实现；最重要的有利于治学态度的培养，在课程设计中，我们可能经常犯很多小错误，可能要通过好几次的反复修改、调试才能成功，但这种现象会随着学校的深入而慢慢改观。这当中就有一个严谨治学、一丝不苟的科学精神的培养。《数字信号处理》课程设计是在学生完成数字信号处理和MATLAB的结合后的基本实验以后开设的。本课程设计的目的是为了让学生综合数字信号处理和MATLAB并实现一个较为完整的小型滤波系统。这一点与验证性的基本实验有本质性的区别。开设课程设计环节的主要目的是通过系统设计、软件仿真、程序安排与调试、写实习报告等步骤，使学生初步掌握工程设计的具体步骤和方法，提高分析问题和解决问题的能力，提高实际应用水平。1.2课程设计的要求（1）滤波器指标必须符合工程设计。（2）设计完后应检查其频率响应曲线是否满足指标。（3）处理结果和分析结论应该一致，而且应符合理论。（4）独立完成课程设计并按要求编写课程设计报告。1.3设计平台MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平[2]。MATLAB作为一种科学计算的高级语言之所以受欢迎，就是因为它有丰富的函数资源和工具箱资源，编程人员可以根据自己的需要选择函数，而无需再去编写大量繁琐的程序代码，从而减轻了编程人员的工作负担，被称为第四代编程语言的MATLAB最大的特点就是简洁开放的程序代码和直观实用的开发环境。MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第３页共19页软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域[3]。2设计原理在网上采集一段吹管音乐信号，绘制波形并观察其频谱，给定相应技术指标，用脉冲响应不变法设计一个满足指标的巴特沃斯IIR滤波器，对该吹管音乐信号进行滤波去噪处理，比较滤波前后的波形和频谱并进行分析。2.1IIR滤波器IIR滤波器具有无限长脉冲响应，因此能够与模拟滤波器相匹敌；一般来说，所有的模拟滤波器都有无限长脉冲响应。因此，IIR滤波器设计的基本方法是利用复值映射将大家熟知的模拟滤波器变换为数字滤波器。这一方法的优势在于各种模拟滤波器设计（AFD）表格和映射在文献中普遍都能获得。这个基本方法称为A/D（模拟-数字）滤波器变换。然而，AFD表格仅对低通滤波器适用，而同时也想要得到设计其他频率选择性滤波器（高通、带通、带阻等等）。为此，需要对低通滤波器实行频带变换这些变换也是复值映射，在各种文献中也能得到。这种IIR滤波器设计的基本方法存在两种途径：途径1：期望的IIR滤波器途径2：期望的IIR滤波器在MATLAB中采用第1种途径设计IIR滤波器。这些MATLAB函数的直接使用并没有给出有关任何设计方法的细节。因此，本课程设计将研究第2种途经，因为它涉及数字域的频带变换。这样，在这种IIR滤波器设计方法将按下列步骤进行：（1）设计模拟低通滤波器。（2）研究并实行滤波器变换以得到数字低通滤波器。设计模拟低通滤波器实行频带变换S→S实行滤波器变换S→Z设计模拟低通滤波器实行滤波器变换S→Z实行频带变换Z→Z《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第４页共19页（3）研究并实行频带变换以便从数字低通滤波器得到其他数字滤波器。这些途经存在的主要问题是在IIR滤波器的相位特性上没有一点控制能力，因此IIR滤波器设计将仅作为幅度设计对待[4]。2.2巴特沃斯滤波器这个滤波器是用这个性质表征的：它的幅度响应在通带和阻带都是平坦的。一个N阶低通滤波器的幅度平方响应给出为NcajH22)(11|)(|(2.1)式中N是滤波器的阶，c（rad/s）是截止频率。幅度平方响应的图如下图2-1所示。010203040506070809010000.20.40.60.811.2N=1N=2N=200N=100图2-1巴特沃兹filter振幅平方函数图中横坐标为Ω，纵坐标为2|)(|jHa，交点处为c。从这张图2-1可以看出下面几个性质：《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第５页共19页（1）Ω=0，等于2|)(|jHa=1，对全部N。（2）Ω=c，2|)(|jHa=21，对全部N，这意味着在c有3dB衰减。（3）2|)(|jHa是Ω的单调下降的函数。（4）2|)(|jHa随N→∞向一个理想低通滤波器趋近。（5）2|)(|jHa在Ω=0是最大平坦，因为在这里所有阶的导数存在且等于零。为了确定系统函数)(sHa,现将(2.1)式变换得到NcNNNcjsaaajsjjsjHsHsH2222/2)()(11||)(|)()((2.2)由（2.2）式分母多项式的根（或)()(sHsHaa的极点）给出为12,...,1,0,)()1(221)1(NkjepNkNjcNk(2.3)式（2.3）的一种解释是：（1）)()(sHsHaa总共有2N个极点，它们均匀分布在半径为c的图上，相隔π/N弧度。（2）对N为奇数，极点给出为12,...,1,0,/NkepNjkck。（3）对N为偶数，极点给出为12,...,1,0,)2(NkNkNjckp。（4）极点对jΩ轴是对称分布的。（5）极点永远不会落在虚轴上，且仅当N为奇数时才会落在实轴上[5]。通过选取在左半平面的极点就能给出一个稳定和因果的)(sHa，并且能将)(sHa写成)()(pHkLHPNcass极点(2.4)对设计滤波器这个过程的设计步骤是：（1）选取T，这里设置T=1。并确定模拟频率如下：Tpp和Tps(2.5)（2）利用设参数p，s，pR和sA设计一个模拟滤波器)(sHa。这一步要用巴《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第６页共19页特沃斯滤波器为原型来完成。（3）利用部分分式展开，将)(sHa展开为：NkkkaPsRsH1)((2.6)（4）现在将模拟极点{kp}变换为数字极点{Tpke}，得到数字滤波器如下式：NkTpkzeRzHk111)((2.7)并作化简得出作为z-1有理函数的)(zH。这样滤波器就可设计好了。2.3脉冲响应不变法在这种设计方法中，我们想要这个数字滤波器的脉冲响应看起来与一个频率选择性模拟滤波器的冲激响应时“相似”的。为此，以某个采样间隔T对)(tha采样得到)(nh,即)()(nThnha(2.8)参数T要选成以使得)(tha的形状被它的样本“捕获”住。因为这是一种采样运算，所以模拟和数字频率由下式联系：T或eeTjj(2.9)由于jez是在单位圆上，js是在虚轴上，所以有下面从s平面到z平面的变换sTez(2.10)系统函数)(zH和)(sHa是经由频域混叠公式联系的：kakTjsTzHH)2(1)(在（2.10）公式的映射关系下，复平面的变换如图2-2所示[6]。《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第７页共19页图2-2脉冲响应不变法中的复平面映射3.设计步骤3.1设计流程图吹管音乐信号滤波去噪——使用脉冲不变响应法设计的巴特沃斯滤波器的设计流程如图3-1所示：开始吹管音乐信号的采集（wavread函数），加入单频噪声，画加噪前后时域图进行快速傅里叶变换，并且画加噪前后频谱图设定滤波器性能指标，单频噪声频率fn=3100，通带截止频率fp=fn-400=2700，阻带截止频率fc=fn-50=3050，通带波纹Rp=3，阻带波纹As=16.用脉冲响应不变法设计巴特沃斯滤波器验证滤波器是否符合指标并进行频谱分析《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第８页共19页图3-1脉冲响应不变法巴特沃斯滤波器对吹管信号去噪流程图3.2吹管音乐信号的采集在网上下载一段吹管音乐信号，属性设置为8000Hz，8位单声道的音频格式。然后在Matlab软件平台下，利用函数wavread对语音信号进行采样，函数为[x,fs,bits]=wavread('e:\dizi.wav')，记住采样频率和采样点数，如图3-2：图3-2吹管音乐信号设置3.3吹管音乐信号的频谱分析画出加噪前后信号的时域波形和频域波形，程序截图3-3如下：设计好的滤波器进行滤波处理，回放滤波后的吹管音乐比较滤波前后吹管音乐信号的波形及频谱结束《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第９页共19页图3-3程序截图0246810-1-0.500.51时间（单位：s）幅度原始吹管信号010002000300040000500100015002000频率（单位：Hz）幅度谱原始吹管信号幅度谱图0246810-1-0.500.51时间（单位：s）幅度加入单频干扰后的吹管信号010002000300040000500100015002000频率（单位：Hz）幅度谱加入单频干扰后的吹管信号幅度谱图图3-4加噪前后时域和频域波形对比从图中可以看出时域波形加噪前后变化不是很明显，但变化是肯定的。频域波形加入单频噪声之后，在噪声频率为fn=3100Hz处很明显加入了噪声，频谱变化显而易见。《吹管音乐滤波去噪--使用脉冲响应不变法设计的巴特沃斯滤波器》第１０页共19页3.4滤波器设计将数字滤波器的设计指标设为通带截止频率fn=3100Hz,fp=fn-400=2700Hz,阻带频率fc=fn-50=3050Hz,通带波纹Rp=3，阻带波纹As=16dB,要想要通过首先设计一个等效的模拟滤波器，然后再将它映射为所期