2.5等比数列的前n项和(1)

（一）知识回顾：2.通项公式：11nnqaa3.等比数列的主要性质：②在等比数列{}中，若则()naqpnmqpnmaaaaNqpnm,,,①成等比数列bGa,,abG2(G,a,b≠0)1.等比数列的定义：qnnaa1Nnq,0（常数）（）,mnmnqaag64个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒依次类推……你认为国王有能力满足上述要求吗每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64格子2213263220212?由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题，即：842164S……636222①把上式左右两边同乘以2得：646322842264S……②16+由②-①得：126464S=18446744073709551615≈1.841910错位相减法所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了他的要求。其实，人们估计，全世界一千年也难以生产这么多麦子!假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。一般地，等比数列的前n项和nnnaaaaaS1321=?11212111nnnqaqaqaqaaS=?即“请你用错位相减法或者其他方法在这两个式子中任选一个进行研究．”已知：等比数列{}，公比为，naq21aaSn……na，如何用qna,,1来表示nS解：……2111qaqaaSn11nqa①两边同时乘以q得：……nqS211qaqannqaqa111②①-②得：nnqaaSq11)1(当时1qqqannS1)1(11q当时1naSn说明：这种求和方法称为错位相减法等比数列的前项和公式：)1()1({11)1(1qnaqSqqann或：)1()1({111qnaqSqqaann注（1）公式中涉及五个量“知三求二”(方程思想)（2）选择合适的公式，简化运算过程q≠1时，已知首项和公比，用已知首项和末项，用nnSanqa,,,,1qqaSnn1)1(1qqaaSnn11方法二：Sn=a1+a2+···+an=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+···+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)∴(1–q)Sn=a1–qan∴当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q当q＝1时Sn=na1方法三：∵21aa32aa1nnaqa…23121nnaaaqaaa1nnnsaqsa∴当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q当q＝1时Sn=na1解:由211a212141q8n得：2562551])(1[82182121S191148127,,0.243aaq例1求下列等比数列前8项的和：1（1），，，；2（2）（1）范例讲解例3、如图，为了估计函数y=9–x2在第一象限的图像与x轴、y轴围成的区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作y轴的平行线与函数的图像相交，再从各交点向左作x轴的平行线，构成（n–1）个矩形。下面的程序用来计算这（n–1）个矩形的面积的和S。阅读程序，回答下列问题：（1）程序中的AN、SUM分别表示什么，为什么？（2）请根据程序分别计算当n=6，11，16时，各个矩形的面积的和（不必计算机上运行程序）。1)33,nxn解:(当把轴上的区间[0,3]分成n等分时，各等分的长都是即各矩形的底都是。3323(1),,....,.nnnn显然分点的横坐标分别是2从各分点作y轴的平行线与y=9-x的图像相交，交点的纵坐标分别是：2223323(1)9,9,....,9[],nnnn（）（）它们分别是相应矩形的高。222333233(1)39],[9],....,{9[]}.nnnnnnn这样，各个矩形的面积分别是[（）（）所以，程序中的AN表示第k个矩形的面积，SUM表示前k个矩形面积的和。（2）根据程序，当n=6时，5个矩形的面积的和就是输入N=6时，SUM的最后一个输出值。即SUM=15.625(这里精确到小数点后3位）同理，当n=11时，10个矩形的面积的和就是输入N=11时，SUM的最后一个输出值。即SUM=16.736。当n=16时，15个矩形的面积的和SUM=17.139。练习：2、求：（1）等比数列1，2，4，···从第5项到第16项的和。（1）a1=3、q=2、n=6；1、根据下列各题的条件，求相应的等比数列{an}的前n项和Sn：（2）a1=8、q=0.5、an=0.5。（2）等比数列从第3项到第7项和。333,,,24816416422SS1893127293128SS练习：1.根据下列条件，求相应的等比数列的nanS;6,2,3)1(1nqa;5,5.1,4.2)2(1nqa;5,21,8)3(1nqa.6,31,7.2)4(1nqa.18921)21(366S.433)5.1(1])5.1(1[4.255S.231211211855S.40913113117.266S小结,111qqannS,1na(q=1).(q≠1).{1.已知则qna,,1,11qqaannS,1na(q=1).(q≠1).{已知则qaan,,12.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。填表数列等差数列等比数列前n项和公式推导方法21nnaanSdnnna211qqann111Sqqaan111q【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑.倒序相加错位相减公比是否为1新时代的猪八戒不再是贪吃胆小懒做，而是堂堂正正的企业大老板——八戒养猪集团公司，有一天，他要扩大业务，出现资金周转不足，于是他就去找当年的大师兄孙猴子帮忙哈哈，我是CEO了……西游记后传周转不灵……西游记后传西游记后传Noproblem！我每天给你投资100万元，连续一个月(30天)，但有一个条件：猴哥,能不能帮帮我……第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元……后一天返还数为前一天的2倍．第一天出１元入１００万；第二天出２元入１００万;第三天出4元入１００万元；……哇，发了……假如你是八戒养猪集团的总裁秘书，请你帮八戒决策．,,,,,322221292八戒吸纳的资金返还给悟空的钱数30S29322222130T301003000(万元)等比数列的前30项和每天投资100万元，连续一个月(30天)第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元……后一天返还数为前一天的2倍．=?1230亿约为7410.Thankyou！