高中数学题库高一部分-B函数-等差数列

(文）已知等差数列{na}中，,0,166473aaaa求{na}前n项和ns答案：设na的公差为d，则.11112616350adadadad即22111812164adadad解得118,82,2aadd或因此819819nnSnnnnnSnnnnn，或来源：09年高考全国卷二题型：解答题，难度：容易已知：sin(B+C-A)，sin(C+A-B)，sin(A+B-C)成等差数列．求证：tanA、tanB、tanC也成等差数列．答案：证：由已知得sin(C+A-B)-sin(B+C-A)=sin(A+B-C)-sin(C+A-B)∴2cosC·sin(A-B)=2cosA·sin(B-C)cosC·sinAcosB-cosCcosAsinB=cosAsinBcosC-cosAcosBsinC两边同除以cosAcosBcosC得：tanA-tanB=tanB-tanC,即它2tantantanCAB∴tanA、tanB、tanC成等差数列．来源：题型：证明题，难度：较难对于正整数n≥2，用nT表示关于x的一元二次方程220xaxb有实数根的有序数组(,)ab的组数，其中,1,2,,abn（a和b可以相等）；对于随机选取的,1,2,,abn（a和b可以相等），记nP为关于x的一元二次方程220xaxb有实数根的概率。（1）求2nT和2nP；（2）求证：对任意正整数n≥2，有11nPn.答案：来源：09年高考江苏卷题型：解答题，难度：较难设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS。（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项。答案：（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433()()daadaa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d,(2)（方法一）12mmmaaa=(27)(25)23mmm,设23mt，则12mmmaaa=(4)(2)86ttttt,所以t为8的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86mmmmmmmmaaaaaaaa为数列na中的项，故m+28a为整数，又由（1）知：2ma为奇数，所以2231,1,2mamm即经检验，符合题意的正整数只有2m。.来源：09年高考江苏卷题型：解答题，难度：中档(文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.(1)求数列{an}的通项公式：(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝)(2...222n33221为正整数nbbbbn，求数列{bn}的前n项和Sn答案：（1）设等差数列na的公差为d，则依题设d0由a2+a7＝16.得12716ad①由3655,aa得11(2)(5)55adad②由①得12167ad将其代入②得(163)(163)220dd。即22569220d24,0,2,11(1)221ndddann1又代入得a①（2）令121121,,2nnnnnnnbcacccaccc则有两式相减得111111111,(1)1,22,2(2),22222,(1)2(2)nnnnnnnnnnnaacaaaccnnbbanbn由得即当时，又当n=1时，于是3411232222nnnSbbbb=234122222n-4=1222(21)426,2621nnnnS即来源：09年高考湖北卷题型：解答题，难度：中档已知等差数列{na}的公差为d（d0），等比数列{nb}的公比为q（q1）。设ns=11ab+22ab…..+nnab,nT=11ab-22ab+…..+(-11)nnnab,nN⑴若1a=1b=1，d=2，q=3，求3S的值；⑵若1b=1，证明（1-q）2nS-（1+q）2nT=222(1)1ndqqq，nN；⑶若正数n满足2nq，设1212,,...,,,...,12...nnkkklll和是，，，n的两个不同的排列，12112...nkkkncababab，12212...nlllncababab证明:c1≠c2。答案：（Ⅰ）解：由题设，可得1*21,3,nnnanbnN所以，311223311335955Sababab（Ⅱ）证明：由题设可得1nnbq则22121232.....,nnnSaaqaqaq①232121234232122242.....,2(...)nnnnnnnTaaqaqaqaqSTaqaqaq②①式减去②式，得①式加上②式，得2222213212(....)nnnnSTaaqaq③①式两边同乘q，得321221321()2(....)nnnnqSTaqaqaq所以，222222(1)(1)()()nnnnnnqSqTSTqST3212*22()2(1),1nndqqqdqqnNqK(Ⅲ)证明：11221212()()()nnklklklnccaabaabaabK11112211()()()nnnkldbkldbqkldbqK因为10,0,db所以11211221()()()nnnccklklqklqdbK⑴若nnkl，取i=n⑵若nnkl，取i满足iikl且,1jjklijn由（1）,(2)及题设知，1in且21121122111()()()()iiiiiiccklklqklqklqdbK①当iikl时，得1,1,1,2,3.....1iiiiklqnklqii由，得即111klq，22()(1)klqqq…，2211()(1)iiiiklqqq又11(),iiiiklqq所以1211211(1)(1)(1)(1)1iiiccqqqqqqqqdbqK因此12120,cccc即①当iikl同理可得1211ccdb，因此12cc综上，12cc来源：09年高考天津卷题型：解答题，难度：较难(文）等比数列{}na中，已知142,16aa（I）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若35,aa分别为等差数列{}nb的第3项和第5项，试求数列{}nb的通项公式及前n项和nS。答案：（I）设{}na的公比为q由已知得3162q，解得2q（Ⅱ）由（I）得28a，532a，则38b，532b设{}nb的公差为d，则有1128432bdbd解得11612bd从而1612(1)1228nbnn所以数列{}nb的前n项和2(161228)6222nnnSnn来源：09年高考福建卷题型：解答题，难度：容易设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足2222234577aaaa,S（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项.答案：（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433()()daadaa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d所以na的通项公式为27nan，前n项和26nSnn。（2）12272523mmmaa(m)(m)a(m)，令23mt，1242mmmaa(t)(t)at86tt，因为t是奇数，所以t可取的值为1，当1t，2m时，863tt，2573，是数列na中的项；1t，1m时，8615tt，数列na中的最小项是5，不符合。所以满足条件的正整数2m。来源：09年高考江苏卷题型：解答题，难度：容易已知函数xbbaxxf22242，21axxg，Rba,(1)当0b时，若xf在,2上单调递增，求a的取值范围；(2)求满足下列条件的所有实数对ba,：当a是整数时，存在0x，使得0xf是xf的最大值，0xg是xg的最小值；(3)对满足(2)的条件的一个实数对ba,，试构造一个定义在2|xxD，且Nkkx,22上的函数xh，使当0,2x时，xfxh，当Dx时，xh取得最大值的自变量的值构成以0x为首项的等差数列。答案：(1)当0b时，xaxxf42，若0a，xxf4，则xf在,2上单调递减，不符题意。故0a，要使xf在,2上单调递增，必须满足2240aa，∴1a。(2)若0a，xbbxf2242，则xf无最大值，故0a，∴xf为二次函数，要使xf有最大值，必须满足02402bba，即0a且5151b，此时，abbxx2024时，xf有最大值。又xg取最小值时，axx0，依题意，有Zaabb224，则2221524bbba，∵0a且5151b，∴Zaa502，得1a，此时1b或3b。∴满足条件的实数对ba,是3,1,1,1。(3)当实数对ba,是3,1,1,1时，xxxf22依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。如对kkx2,22，0,22,kxNk，此时，kxkxkxfkxhxh222222，故Nkkkxkxkxxh,2,22,2222。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难数列{na}满足递推式365),2(13341anaannn其中（1）求a1，a2，a3；（2）若存在一个实数，使得nna3为等差数列，求值;（3）求数列{na}的前n项之和.答案：解：（1）由95,365133365,133343441aaaaaannn则知及同理求得a2=23,a1=5（4分）95,23,5,3)(3,}3{)2(321aaayxnayxnaannnnnn又由于是设为一个等差数列21,1,2127)3(959)2(233)(5321yxyxayxayxa求得知)8)(.(21213)21(,213)21(分利用其它方法同样给分因此满足递推式而nnnnnana由上两式相减则记项和的前先求13223)21(3)212(3)211(33)21(3)212(3)211(,3)21(213)21()3(nnnnnnnnTnnTnnnbna)12).(13(22322}{32133)21()93(21293)21(31332923)21(3333)211(311111111