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1      应用偏微分方程与科学计算 讲义（八） Lecture Notes on  Applied Partial Differential Equations and Scientific Computing No. 8  马石庄      2011．09．29．北京   2  第8讲 Fourier变换  教学目的： 积分变换方法通过函数的变换，减少了泛定方程中的自变量的个数，从而把偏微分方程化为常微分方程，还可以把原来方程中出现的一些有奇性的函数，变为比较规则的函数。Fourier变换是昀重要的积分变换．  主要内容： §1 Fourier积分 ........................................................................................ 3 1.1 从Fourier级数到Fourier积分 .................................................. 3 1.2 Fourier变换 .................................................................................. 5 1.3物理意义 ...................................................................................... 9 §2 Fourier变换的性质 .......................................................................... 12 2.1卷积及其Fourier变换 ............................................................... 12 2.2 反演定理 ................................................................................... 13 2.3 广义函数的Fourier变换 .......................................................... 15 §3 求解偏微分方程 .............................................................................. 17 3.1 无限长杆的热问题 .................................................................... 17 3.2 d’Alembert公式 .......................................................................... 20 3.3 半平面上的Laplace方程 ......................................................... 22 习题8 ..................................................................................................... 23 附录：关于积分变换............................................................................. 24 3   尽管有偏微分方程的Fourier级数解法的成功与冲击，19世纪主要努力之一仍然是要寻求封闭形式的解，即用初等函数及其积分表示的解．用封闭形式解偏分方程的昀重要的方法是Fourier变换，起源于Laplace（1749－1827）开创的工作，思想应当归Fourier，Cauchy和Poisson。把这个重要发现的优先权归结谁是不可能的，因为这三个人都向巴黎科学院宣读了直到一个时期以后才发出来的论文，每人都听过别人的论文，无法从出版物中确定什么东西是每个人取自口头报告的． §1 Fourier积分 在区间∞，∞上以2 为周期的函数可以用Fourier级数表示，而非周期函数不能，对于许多问题，可以对非周期函数求出与Fourier级数展开式类似的积分表达式。 1.1 从Fourier级数到Fourier积分   Fourier在1811年得奖论文的昀后一节，讨论了在一个方向延伸到无穷远的区域内热的传导问题．为了得到这类问题的解答，他从有界区域的热方程的解的普遍形式出发，断言：对任意函数，  1  cos ∞∞∞d 沿着他的思路，假设函数在区间，上的Fourier级数为 4  2cossin∞ 其中           1  cosd1  sind 把系数的表示代回，有 12d1  coscosd∞sinsind12d1  cosd∞ 假定在区间∞，∞上绝对可积，即积分 ||d∞∞ 收敛的，那么当∞ ||212d12d∞∞0 因此当∞时 lim∞1  cosd∞ 如果记 ，∆    则 其中和式是在当称为收敛1.2中 式 在曲线∞时，为的敛性问题2 Fourier对于下面的∆0 Fourier积。 变换 的Four1  ∞的面积的近，和式形1 ∞1 ∞积分。注意rier积分5 lim∞∞cos∞∆近似。 形式上趋于1 cos∞∞cos∞∞意，上面∆ ∆ 于一个定积的推导并d 积分。因此 dd并不能证明 此 dd 明这个积分分的6  1  cos ∞∞d∞d 注意到 cos 2  从而 1 2 d∞∞∞d                                   1 2 d∞∞∞d1 2 d∞∞∞∞d1 √2 1 √2 d∞∞∞∞d 因此，可以引入下面的函数对 1 √2 d∞∞ 1 √2 d∞∞ 称为的Fourier变换，而称为 的Fourier逆变换。注意到函数coscos，也可以规定： 1 √2 d∞∞ 1 √2 d∞∞ 关键是前后保持一致。     容易证明，Fourier变换是线性变换，  7  满足位移关系  满足相似关系 1|| 尤其重要的是，Fourier变换把求导变成下面意义下的乘函数，从而可以把具有常系数的偏微分方程化为简单的常微分方程：     设函数在∞,∞连续且分段光滑，当||∞，0。如果和都绝对可积，那么 i 还有一般的结果 i，1，2，3， 例1 求||的Fourier变换，其中0，∞，∞。计算 1 √2 e||∞∞1 √2 d∞d∞1 √2 2 例2 求下列函数的Fourier变换： 1，||0， || 计算 1 √2 d1 √2 sin 8  例3 一个实值函数的Fourier变换未必是实值。求下列函数的Fourier变换： 1，00，     其他处 计算 1 √2 d1 √2 sin1cos 例4  对于Gauss函数  有著名的广义积分 d∞∞√ 因为借助极坐标变换，dddd d∞∞d∞∞dd∞∞dd∞∞∞ 现在求Gauss函数的Fourier变换，其中0 1 √2 d∞∞1 √2 d∞∞1 √2 expi2 4d∞∞exp 41 √2 expi2d∞∞1√2exp 4 9  令1/2，得到 //，// 说明/ 就是其自身的Fourier变换！具有该性质的函数可能有一类呢。类似地，对奇函数得到Fourier正弦变换 2  sind∞∞ 2  sind∞∞ 对偶函数得到Fourier余弦变换 2  cosd∞∞ 2  cosd∞∞ 1.3物理意义 Fourier变换有明显的物理意义．如同Fourier级数展开一样．公式 1 √2 d∞∞ 表示任一波可以分解为简谐波的叠加，的Fourier变换恰好表示中所包含的波数为的简谐波的复振幅．因此只须观察，就可以把所包含的各种波数的波的强弱了解清楚了．正象白光通过三棱镜得到光谱一样，在应用科学中经常也把称为 的波谱。 10   白光经棱镜后的色散现象 随波数的变化称为功率波谱，表示不同波数成分在单位波长内的辐射功率随波长而变化的情况。   太阳辐射功率波谱 类似地，物理上时间域讯号的Fourier变换为 1 √2 d∞∞ 1 √2 d∞∞ 其中，是频率。的Fourier变换表示中所包含的频率为的简谐波的复振幅，观察，就可以把所包含的各种频率的波了解清楚。因此Fourier变换的重要性远远超出求解偏微分方程的范围，它在其他应用科学中如信息论、无钱电技术等学科中都有着极为广阔的应用，是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具． 11  还可以把前述一维Fourier变换推广到高维空间上。对于函数，，定义 ，1 √2 ，dd∞∞ ，1 √2 ，d∞∞d 考虑一个有实际意义的例子。当是和的函数，其中cos ， sin ，1 √2 ，dd∞∞ 利用坐标轴旋转 cossin，sincos 有 ，1 √2 cossin，sincosdd∞∞ 因此，作为和的函数 ，1 √2 ，d∞∞ 其中 ，cossin，sincosd∞∞ 此式称为，的Radon变换，是CAT扫描层析成像的基础。假设一细束X射线沿角度照射一个二维物体，那么传输强度由沿射线的吸收函数，的积分决定，即对，沿此方向的Radon变  换。的0做的下面 2.1。对每个横0的是对面是一个具1卷积及其常要求横向坐标值再做扫描，的具体的例其Fourie求一个函数值以同一描，就可以做Fouri子。     §2 Four变换 数，它12 一角度沿平以找到ier变换，urier变换它的Fourie平行光束重，。为变换到直换的性质 er变换是重复扫描，为了求得直角坐标，再 是两个函数 然后对所，，再求的逆数和所有要逆。13  的Fourier变换的乘积。一般说来，。为了求，形式上做如下运算，其中涉及的交换积分次序都是合法的 1 √2 d∞∞1 √2 d∞∞1 √2 dd∞∞∞∞1 √2 dd∞∞∞∞1 √2 1 √2 d∞∞∞∞d 因此有 1 √2 d∞∞ 为函数的平移关于权重的连续叠加。称函数和的卷积 1 √2 d∞∞ 如果每个积分都存在的话。卷积具有下列性质      （1）交换律：； （2）结合律：； （2）分配律：。 2.2 反演定理       既是应用也是纯数学中的Fourier变换的一个基本性质是，对两个函数和来说，在较弱的前提下，当时，必有14  ；换句话说，可以由，重新获得适当的函数。如果把从出发，获得Fourier变换称为正演，那末就有下列反演定理： 设是分段连续光滑函数（即和在任意区间都是分段连续的），而且绝对可积，则对每个，都有 1 2 1 √2 d∞∞ 注意：一个绝对可积函数的Fourier变换未必是绝对可积的。 与Fourier级数成立Parseval定理一样，对Fourier变换，也有Parseval定理 ∞∞d∞∞ 用内积符号可以表述为 ，， 当时， 若记 d∞∞ 就有  意味着Fourier变换相当于对适当函数组成的向量空间中的一个“旋转”，保持了长度不变。用这一事实可以把Fourier变换扩充到更普遍的情形。 15  2.3 广义函数的Fourier变换 1936年，物理学家P. A. M. Dirac为陈述量子力学中某些量的关系引进了“函数”，用它来描述物理学上一切点量，如点质量、点电荷、偶极子、瞬时打击力、瞬时源等不仅方便、物理含义清楚，而且当它被当作普通函数参加运算。但是，按20世纪前的数学概念，是无法理解这样奇怪的函数的。如对“函数“进行微分和Fourier变换，参与微分方程求解等所得到的数学结论和物理结论是吻合的。然而，古典的Fourier变换限制很强，甚至连1，sin， cos这么简单的初等函数，其Fourier变换都没有意义。例如，若函数 1，||10，||1 Fourier变换存在，那么性质 i 将不