2.1 Laplace变换的概念

第二章Laplace变换§1Laplace变换的概念§2Laplace变换的性质§3Laplace逆变换§4卷积§5Laplace变换的应用§2.1Laplace变换的概念1问题的提出2Laplace变换的存在定理§2.1Laplace变换的概念1.问题的提出在第一章讲过，一个函数当它除了满足Dirichlet条件以外，还在(－∞，+∞)内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的Fourier变换。但绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的函数(如单位阶跃函数、正弦、余弦函数以及线性函数等)都不满足这个条件；其次，可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t作为自变量的函数往往在t0时是无意义的或者是不需要考虑的，像这样像这样的函数都不能取Fourier变换。由此可见，Fourier变换的应用范围受到相当大的限制。对于一个函数j(t),有可能因为不满足Fourier变换的条件,因而不存在Fourier变换.因此,首先将j(t)乘上u(t),这样t小于零的部分的函数值就都等于0了.而大家知道在各种函数中,指数函数ebt(b0)的上升速度是最快的了,因而e-bt下降的速度也是最快的。因此,几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt，Fourier变换都存在，此时取Fourier变换的运算，就产生了Laplace变换。tf(t)Otf(t)u(t)e-btO对函数j(t)u(t)e-bt(b0)取Fourier变换,可得其中若再设则得由此式所确定的函数F(s)，实际上是由f(t)通过一种的变换得来的，这种变换我们称为Laplace变换。定义设函数f(t)当t0时有定义,而且积分在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为f(t)称为F(s)的Laplace逆变换(或象原函数)记为(s是一个复参量)称此式为函数f(t)的Laplace变换式,记为F(s)称为f(t)的Laplace变换(或称为象函数)。而实际上就是的Fourier变换。则由上式可以看出，f(t)的Laplace变换，也可记为f(t)F(s)。例1求单位阶跃函数解根据Laplace变换的定义,有这个积分在Re(s)0时收敛,而且有所以的Laplace变换。例2求指数函数f(t)=ekt的Laplace变换(k为实数)。这个积分在Re(s)k时收敛,而且有其实当k为复数时，上式也是成立的，只是收敛区间为Re(s)Re(k)。解根据Laplace变换的定义，有所以例求函数f(t)=e-2t的Laplace变换。这个积分在Re(s)-2时收敛,而且有其实当k为复数时，上式也是成立的，只是收敛区间为Re(s)Re(k)。解根据Laplace变换的定义，有所以2.Laplace变换的存在定理从上面的例题可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条件弱得多，但是对一个函数作Laplace也还是要具备一些条件的。那么，一个函数究竟满足什么条件时，它的Laplace变换一定存在呢？下面的定理将解决这个问题。若函数f(t)满足下列条件：1.在t0的任一有限区间上分段连续2.当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M0及c0,使得|f(t)|Mect,0tLaplace变换的存在定理0()()edstFsftt-成立(满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数则f(t)的Laplace变换级的，c为它的增长指数)。Laplace变换的存在定理0()()edstFsftt-在半平面Re(s)c上一定存在，右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛，并且在Re(s)c的半平面内，F(s)为解析函数。则f(t)的Laplace变换MMectf(t)tO对于tm，由于这个定理的条件是充分的，物理学和工程技术中常见的函数大都能满足这两个条件：一个函数的增大是不超过指数级的和函数要绝对可积这两个条件相比，前者的条件弱得多。u(t)、coskt、tm等函数都不满足Fourier积分定理中绝对可积的条件，但它们都能满足Laplace变换存在定理中的条件2：|u(t)|1·e0t，此处M=1，c=0；|coskt|1·e0t，此处M=1，c=0；lim0mttte，所以t充分大以后，有mtte(故tm是M=1，c=1的指数级增长函数)，即除了上面介绍的单位阶跃函数和指数函数的Laplace变换外，下面再求一些常用函数的Laplace即||1,mtte这里M=1，c=1。由此可见，对于某些问题(如在线性系统分析中)，Laplace变换的应用就更为广泛。变换。例3求f(t)=sinkt(k为实数)的Laplace变换解由公式，有同理可得余弦函数的Laplace变换解由公式，有例求f(t)=cos2t的Laplace变换。解由公式，有例求f(t)=cos2t的Laplace变换。例5求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的Laplace变换。bOb2b3b4btf(t)解根据Laplace变换，可得例5求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的Laplace变换。解根据Laplace变换，可得，则而所以有由于当Re(s)0时，所以从而下面继续指出，满足Laplace变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时,积分一般地，以T为周期的函数f(t)，即f(t+T)=f(t)(Re(s)0)成立。这就是求周期函数的Laplace变换公式。，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则有中的下限取0+或0-不会影响其结果。但当f(t)在t=0处包含脉冲函数时，则Laplace变换的积分下限必须则Laplace变换的积分下限必须明确指出是0+还是0-,因为当f(t)在t=0附近有界时，当f(t)在t=0处包含了脉冲函数时，为了考虑这一情况，需将进行Laplace变换的函数f(t)。当t0时有定义扩大为当t0及t=0的任意一个邻域内有定义。这样，原来的Laplace变换的定义应为但为了书写方便起见，我们仍用原来的形式。例设解根据周期函数的Laplace变换公式，有是以为周期的函数，且在一个周期内的表达式为，求例6求单位脉冲函数d(t)的Laplace变换。由上面讨论和公式及性质：解有例7求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b0)的Laplace变换。解由定义公式有在今后的实际工作中,我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换,有现成的拉氏变换表可查,就如同使用三角函数表,对数表及积分表一样.本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其拉氏变换列于附录II中,以备查询。下面再举一些通过查表求Laplace变换的例子。例8求sin2tsin3t的Laplace变换解根据附录公式(20)，在a=2，b=3时，可得下面再按定义验算，得例8求sin2tsin3t的Laplace变换解例9求解这个函数可以变换，可得然后由附录中公式(17)，在时，可以得到的Laplace变换。例9求解的Laplace变换。总之，查表求函数的Laplace变换要比按定义去做方便得多，特别是掌握了Laplace变换的性质，再使用查表的方法，就能更快地找到所求函数的Laplace变换。例求解的Laplace变换。