1.4.2正弦余弦函数的图像与性质

一、复习回顾1、作函数的图象，我们在初中学过一种方法———描点法。2、（思考）如果我们仍用描点法来画正弦函数图象，由于对于角的每一个取值，在计算相应的函数值时，都是利用计算器或数学用表得来的，大多数是一些近似值，因此不易描出对应点的准确位置，因而画出的图象不够准确。怎么办呢？为此，我们应考虑用其它方法来作正弦函数的图象3、在这里，我们引入一种新的画法—利用三角函数线来画三角函数的图象。那么，我们来复习一下三角函数的几何表示———三角函数线。三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正弦线MPyxxO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线是有向线段！余弦线OM正切线AT问题：如何作出正弦的图象？途径：利用单位圆中正弦线（表示正弦）来解决。步骤：列表，描点，连线1-1022322656723352yx●●●一.用几何方法作正弦函数y=sinx，x[0，]的图象：y=sinx(x[0,])2332346116633265●●●●●●●673435611●●●2x6yo--12345-2-3-41y=sinxx[0,2]y=sinxxR正弦曲线终边相同的角的同一三角函数值相等。图象的最高点(,1)2图象的最低点3(,1)2图象与x轴的交点)0,0()0,()0,2(五点作图法函数的图像上的关键点有哪些？sin,0,2yxx....xyO.2ππ23π2πxsinx2π23π2π0010-101-1二.用五点法作y=sinx,x∈[0,]的简图π2三、作余弦函数y=cosx(x∈R)的图象思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？cosxyx)2πsin(注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。2πx6yo--12345-2-3-41正弦、余弦函数的图象余弦函数的图象正弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41向左平移2余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同余弦函数的“五点画图法”(0,1)、(,0)、(,-1)、(,0)、(,1)2232oxy2232●●●●●1-1例1、画函数y=1+sinx，x[0,2]的简图：xsinx1+sinx22302010-1012101y=sinx，x[0,2]y=1+sinx，x[0,2]步骤：1.列表2.描点3.连线yx22322-1210向上平移1个单位知识应用2π23ππ2π0x101-01cosx1-0101-cosx-2π23ππ2πO-11[0,2π]x,cosxy[0,2π]x,cosxyxy练习：画出y=-cosx,x∈[0，2]的简图xyO2ππ122-112y例2、当x∈[0，2π]时，求不等式的解集.1cos2x50233，，353x-1O2ππ1y2pπ2p3π变式1、当x∈[0，2π]时，求不等式的解集.1sin2x656变式2、当时，函数的值域。sinyx11,36x思考：1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？小结1.体会推导新知识时的数形结合思想；2.理解解决类三角函数图像的整体思想；3.对比理解正弦函数和余弦函数的异同。0π2π3π22π●●●●●●●●●﹣π2﹣π3π2﹣﹣2π1﹣1xykk22,22:单调递增区间Rxxy,sin1,1ykk223,22:单调递减区间观察下面图象：奇函数0π2π3π22π●●●●●●●●●﹣π2﹣π3π2﹣﹣2π1﹣1xyRxxy,sin1,1y观察下面图象：:0k对称中心坐标，yx2346021-15y=sinx(xR)当x=时，函数值y取得最大值1；k22当x=时，函数值y取得最小值-1k22)0,k对称中心（2kx对称轴：观察下面图象：0π2π3π22π●●●●●●●●●﹣π2﹣π3π2﹣﹣2π1﹣1xykk2,2:单调递增区间Rxxy,cos1,1ykk2,2:单调递减区间观察下面图象：偶函数yx2346021-15y=cosx(xR)当x=时，函数值y取得最大值1；k2当x=时，函数值y取得最小值-1k2)0,2k对称中心（kx对称轴：观察下面图象：函数性质y=sinx(k∈z)y=cosx(k∈z)定义域值域最值及相应的x的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴x∈Rx∈R[-1,1][-1,1]x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1周期为T=2π周期为T=2π奇函数偶函数在x∈[2kπ，2kπ+π]上都是增函数,在x∈[2kπ-π，2kπ]上都是减函数。(kπ,0)x=kπx=2kπ+时ymax=1x=2kπ-时ymin=-1π2π2在x∈[2kπ-,2kπ+]上都是增函数,在x∈[2kπ+，2kπ+]上都是减函数.π2π2π23π2(kπ+,0)π2x=kπ+π2。x、最小值分别是什么的集合，并说出最大值最小值时的自变量写出取最大值、最小值吗？如果有，请、下列函数有最大值、例3RxxyRxxy,2sin3)2(,1cos)1(大小：性，比较下列各组数的、利用三角函数的单调例41sin()sin()18102317(2)cos()cos()54（）与与练习：P401、2、3、4练习：P405还有其他方法来比较吗？作单位圆用三角函数线方法：利用正余弦函数的的最大（小）值.]2,2[),321sin(5的单调递增区间、求函数例xxy1sin()32yx1cos()32yxsin(),0,00,.yAx对于求的单调区间要注意的情形将化为反:再处理思sin(2).6.yx求函数的单练调递减区间习sin(2).6.yx求函数的单调递变一增区间式,2,:62kxk结合图象由得,21223kkxkZ[,]()21223kkkZ所求函数的递增区间为22sincos23si.ncosyxxxx如何求函数的单变式二调区间?|sin(2)||sin(2)|,66:yxyx化为分析,3sin2cos2yxx分析:化简得2sin(2)6yx即()2sin6.(05)(2)(0),fxx设函例全国数(1)(),;8yfxx图象的一条对称轴是直线求(2)()(,0),.6yfx图象的一个对称中心为求xyo(1),,42:kkZ解由已知得,4kkZ即0,又1,k3.4(2):,,3kkZ由已知得解-,3kkZ即0,又2.3xyo2.化归思想.1.数形结合；作业：P46.2、3、4、5。P47.1,3