《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第六章 等比数列及其前n项和

名师伴你行2016级高考数学一轮复习课件§6.3等比数列及其前n项和[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•理解等比数列的概念．•掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．•能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．•了解等比数列与指数函数的关系.•等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点．•客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．•题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高.知识梳理1.等比数列的定义如果一个数列从第□1____项起，每一项与它前一项的比等于□2____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的□3______，通常用字母□4______表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝□5______________.3．等比中项若□6__________，则G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·□7__________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则□8______________________.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{1an}，{a2n}，{an·bn}{anbn}仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn.Sn＝□9，q＝1□10＝□11.6．等比数列前n项和的性质若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为□12______.答案：□1二□2同一个常数(不为零)□3公比□4q□5a1·qn－1□6G2＝a·b□7qn－m□8ak·al＝am·an□9na1□10a11－qn1－q□11a1－anq1－q(q≠1)□12qn名师微博●两个防范①由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.②在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．●四种方法(1)推导等比数列的前n项和公式的方法：错位相减法．(2)等比数列的判断方法有：①定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．②中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．③通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.基础自测1.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．243解析：∵{an}是等比数列，∴a2＋a3a1＋a2＝a1q＋a2qa1＋a2＝q＝63＝2.又∵a1＋a1q＝3，∴a1＝1.∴a7＝a1q6＝1·26＝64.答案：A2．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8a10a12＝()A．32B．±64C．64D．256解析：由已知可得a1a19＝16，而{an}为正项等比数列，所以a10＝4.故a8a10a12＝a310＝64.答案：C3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1等于()A.12B.22C.2D．2解析：a3·a9＝a26＝2a25，∴(a5q)2＝2a25.∴q＝2(∵q＞0)．a1q＝a2⇒a1·2＝1⇒a1＝22.答案：B4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为()A．0B．1C．－1D．2解析：{an}为等比数列的充要条件是Sn＝a11－q(1－qn)，由Sn＝3n＋k知，k＝－1，故选C.答案：C5．若Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S6S3＝__________.解析：由8a2＋a5＝0，得a5＝－8a2，即q3＝－8.故S6S3＝1－q61－q3＝1＋q3＝－7答案：－7[例1](2011·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.考点一等比数列基本量的计算解析：设{an}的公比为q，由题设得a1q＝6，6a1＋a1q2＝30，解得a1＝3，q＝2，或a1＝2，q＝3.当a1＝3，q＝2时，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2·3n－1，Sn＝3n－1.方法点睛等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．变式训练1等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．解析：(1)a3·a4＝a1·a6＝329.又a1＋a6＝11，故a1，a6看作方程x2－11x＋329＝0的两根，又q∈(0,1)，∴a1＝323，a6＝13，∴q5＝a6a1＝132，∴q＝12，∴an＝323·12n－1＝13·12n－6.(2)由(1)知Sn＝6431－12n＝21，解得n＝6.[例2](2012·长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．考点二等比数列的判定或证明解析：(1)b1＝a2－a1＝1.当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，∴{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12＝1＋231－－12n－1＝53－23－12n－1.当n＝1时，53－23－121－1＝1＝a1.∴an＝53－23－12n－1(n∈N*)．方法点睛证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．变式训练2已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列．证明：(1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列．(2)bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋123an－2n＋14＝－23(－1)n·(an－3n＋21)＝－23bn.又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0.由上式知bn≠0，所以bn＋1bn＝－23(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列.[例3]已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和．考点三等比数列的性质及应用解析：∵Sn＝2，其后2n项为S3n－Sn＝S3n－2＝12，∴S3n＝14.由等比数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，即(S2n－2)2＝2·(14－S2n)解得S2n＝－4，或S2n＝6.当S2n＝－4时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是首项为2，公比为－3的等比数列，则S6n＝Sn＋(S2n－Sn)＋…＋(S6n－S5n)＝－364，∴再后3n项的和为S6n－S3n＝－364－14＝－378.当S2n＝6时，同理可得再后3n项的和为S6n－S3n＝126－14＝112.故所求的和为－378或112.方法点睛本题利用了等比数列的性质中的第4条，其和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，若把数列{an}平均分成若干组，其积也为等比数列．变式训练3(1)在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64，求{an}的通项公式．(2)在等比数列{an}中，若a9＋a10＝a，a19＋a20＝b(a，b≠0)，求a99＋a100的值．解析：(1)∵{an}是等比数列，由已知条件，得a24＝a3·a5＝64.∴a4＝±8，a6＝24＋a4＝24±8.∵q2＝a6a4＞0，故a4＝－8(舍去)，得a4＝8，a6＝32.从而a5＝±a4a6＝±16.公比q＝a5a4＝±2.当q＝2时，得a1＝1，∴an＝2n－1；当q＝－2时，得a1＝－1.∴an＝－(－2)n－1.(2)令bn＝an＋an＋1，则{bn}仍是等比数列．由已知得b9＝a，b19＝b，而b19＝b9q10＝aq10，∴q10＝ba.∴a99＋a100＝b99＝b9q90＝a·ba9＝b9a8，即a99＋a100＝b9a8.规范解答(一)怎样求解等差与等比数列的综合性问题？问题研究：等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点，这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化．解决方案：首先求解出两个数列的基本量：首项和公差及公比，再灵活利用性质转化条件，以及利用等差、等比数列的相关知识解决．[示例](2011·湖北，12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．思维突破：正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．解答示范：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.(2分)所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，由(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．(4分)故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(6分)(2)数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.(8分)所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.(10分)因此Sn＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．(12分)解后反思：关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．