10.1分类计数原理和分步计数原理

第十章排列、组合和二项式定理§10.1分类计数原理与分步计数原理基础知识自主学习要点梳理1．分类计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝种不同的方法．m1＋m2＋…＋mn2．分步计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝种不同的方法．3．分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．m1×m2×…×mn[难点正本疑点清源]1．两个原理的联系与区别两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的．区别在于：(1)分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；(2)分类加法计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事．2．对两个原理的进一步理解分类计数原理中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类加法计数原理，否则不可以．分步计数原理中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤彼此间也不能有重复和遗漏．基础自测1.3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为________．5解析“完成这件事”即选出一人作主持人，可分为选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3＋2＝5(种)不同的选法2．4封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是________．34解析第n封信有3种投法(n＝1,2,3,4)，根据分步计数原理4封不同的信投入三个不同的信箱共有3×3×3×3＝34(种)投法．3．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．解析由分步计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．124．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A．50个B．45个C．36个D．35个解析利用分类加法计数原理：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．c5．5名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是()A．35B．53C．A35D．C35解析第n名应届毕业生报考的方法有3种(n＝1,2,3,4,5)，根据分步计数原理知，不同的报名方法共有3×3×3×3×3＝35种．A题型分类深度剖析题型一分类计数原理例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪：用分类计数原理．解(1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法为165种．(2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有80种．探究提高分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．变式训练1如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形个。解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；第二步，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类计数原理知，共有32＋8＝40(个)．40题型二分步计数原理例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？思维启迪：完成“确定点P”这件事需依次确定横、纵坐标，应用分步计数原理．解(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30个．探究提高利用分步计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．解第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步：从30到36中选1个号有7种选法．由分步计数原理可知：满足要求的注数共有15×10×7＝1050(注)，故至少要花1050×2＝2100(元)．变式训练2某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注．若这个人要把符合这种要求的注全买下，至少要花多少元钱？题型三两个原理的综合应用例3有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？(3)若只需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？解(1)“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3＋8＋5＝16(种)方法．(2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8＋5＝13种方法，共有3×13＝39(种)方法．(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行：选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5＝120(种)方法．探究提高在用两个计数原理处理具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则．变式训练3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数。解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)。方法二按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．易错警示13．使用分类计数原理不当致误试题：(5分)(2010·湖南)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10B．11C．12D．15学生答案展示解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为：1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为：0001,1101,1011,1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为：0101；②若位置一与三相同，则信息为：0011；③若位置一与四相同，则信息为：0000；审题视角至多有两个对应位置上的数字相同是本题的题眼，可分为0个相同，1个相同，2个相同．A④若位置二与三相同，则信息为：1111；⑤若位置二与四相同，则信息为：1100；⑥若位置三与四相同，则信息为：1010.共有6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.方法二若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C14＝4(个)；若2个相同，共有C24＝6(个)．故共有1＋4＋6＝11(个)．正确答案B(2)本题要求至多有两个对应位置上的数字相同，应按照0个相同、1个相同、2个相同进行讨论，本题易错点是易漏掉0个相同的情况．批阅笔记(1)本题考查的是分类计数原理，难度不大，属中档题．思想方法感悟提高方法与技巧1.分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2.混合问题一般是先分类再分步．3.分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范应用两种原理解题：(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．返回