2-1 离散型随机变量及其分布律(2)

一、离散型随机变量的分布律第二章三、内容小结二、常见离散型随机变量的概率分布第一节离散型随机变量及其分布律(2)..,2,1,}{,}{,),,2,1(的分布律量称此式为离散型随机变为的概率即事件取各个可能值的概率所有可能取的值为设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk一、离散型随机变量的分布律1.定义分布律可记为：Xkpnxxx21nppp21nnpppxxxX2121~或记为其中;,2,1,0)1(kpk.1)2(1kkp注.1º分布律中的pk必须满足：1)2(),2,1(10)1(1kkkpkp2º若X是离散型随机变量，则其分布函数为：xxkkxXPxF}{)(.而言的是对于一切满足”其中“kxxkxxk例1的分布律为：设随机变量X),2,1,0(!3}{kkakXPk.a试确定常数解由1),,2,1,0(100kkkpkp得01!3kkka01!)31(kkka即031!)31(kkek31ea2.离散型随机变量分布律与分布函数及事件概率的关系(1)若已知X的分布律：),2,1(}{kxXPpkk则X的分布函数：)(}{)(RxxXPxFxxkk事件{aX≤b}的概率：bxakkxXPbXaP}{}{(2)若已知X的分布函数F(x)，则X的分布律：}{kkxXPp)0()(kkxFxF)()(1kkxFxF)}{}{(1kkkxXxPxXP或),2,1(k注1º离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶梯函数，x1,x2,···,是F(x)的第一类间断点,而X在xk（k=1,2,···）处的概率就是F(x)在这些间断点处的跃度.2º}{bXaP}{}{}{bXPaXPbXaP)]()([aFbF)]0()([aFaF)]0()([bFbF)0()0(aFbF)()(aFbF例2一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的，3个新的，从中任取2个，求取得的新球个数X的分布律与分布函数，并计算：}.20{},20{XPXP解X={取得的新球个数}，其分布律为)2,1,0(}{kkXP25223CCCkk或XP2103.06.01.0X的分布函数为)(}{)(RxxXPxFxkkXP}{0xXP2103.06.01.0,010x},0{XP21x},1{}0{XPXP},2{}1{}0{XPXPXP0.1,0.1+0.6,21x0.1+0.6+0.3,2x0.7,1,2xxoy0.10.7121XP2103.06.01.0}20{XP方法1.}2{}1{XPXP9.03.06.0}20{XP}1{}0{XPXP7.06.01.0方法2.2,121,7.010,1.00,0)(xxxxxF)0()2(}20{FFXP9.01.01)00()02(}20{FFXP7.007.0二、常见离散型随机变量的概率分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为2.两点分布1.退化分布若随机变量X取常数值C的概率为1,即1)(CXP则称X服从退化分布.实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0-1)分布.,1)(eXX,0,正面当e.反面当eXkp012121其分布律为则称X服从(0-1)分布或两点分布.记为X~B(1,p)Xkp0p11p实例2200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,0,1X取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0-1)分布.Xkp0120019020010两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明3.均匀分布如果随机变量X的分布律为实例抛掷骰子并记出现的点数为随机变量X,Xkp161234566161616161则有.,)(),(服从均匀分布则称其中XjiaajiXkpnaaa21nnn1114.二项分布若X的分布律为：则nkqpCkXPknkkn0,1,2,,}{称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为),(~pnBX,其中q＝1－p二项分布1n两点分布二项分布的图形例如在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从B(5,0.6)的二项分布.5)4.0(4154.06.0C32254.06.0C23354.06.0C4.06.0445C56.0Xkp012345图示概率分布.,400,02.0,率试求至少击中两次的概次独立射击设每次射击的命中率为某人进行射击解,X设击中的次数为).02.0,400(~BX则的分布律为X,)98.0()02.0(}{400400kkkCkXP.400,,1,0k因此}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1.9972.0例3).(P~,.0,,2,1,0,!}{,,2,1,0XXkkekXPk记为分布的泊松服从参数为则称是常数其中取各个值的概率为而的值为设随机变量所有可能取泊松资料5.泊松分布泊松分布的图形泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.地震在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.火山爆发特大洪水电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.泊松分布与二项分布的关系泊松定理设Xn~B(n,pn)(n=1,2,…)),,1,0()1(}{nkppCkXPknnknknn且满足：)0(limnnnp.!}{limekkXPknn则),2,1,0(k注.即二项分布的极限分布，视为很大时，泊松分布可以当n21º，意味着：条件)0(limnnnp.101npn时，当很小),,1,0(!)1(nkekppCkknnknkn.nnp其中二项分布泊松分布n很大,p很小上面我们提到在保险公司里有2500名同龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人的死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取2000元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利不少于20000元的概率.解(1)以“年”为单位，在1年的1月1日，保险公司的总收入为：).(30000122500元例5，则年中死亡的人数为设X1)002.0,2500(~BX保险公司在这一年中，应付出：2000X(元)设A={保险公司亏本}，则300002000XA发生)(15人即X}15{)(XPAPkkkkC25002500162500)002.01()002.0(很小，所以可用很大，因为002.02500pn,5项分布的泊松分布近似代替二参数np}15{1}15{XPXP即有kkkkC25001502500)002.01()002.0(11505!51kkke.000069.0(2)保险公司获利不少于20000元的概率.B}5{XP}20000200030000{)(XPBPkkkkC2500502500)002.01()002.0(615961.0!5505kkke即保险公司获利不少于20000元的概率接近于62%.若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布.实例设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目X是一个随机变量,求X的分布律.,1,qpXkpk21pqppqk16.几何分布)(}{121kkAAAAPkXP)()()()(121kkAPAPAPAPppppk)1()1()1)(1(.1pqk),2,1(k所以X服从几何分布.说明几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.解.,3,2,1所取的可能值是X,个产品是正品抽到的第表示设iAi7.超几何分布设X的分布律为}),min{,,,,(}{nMkCCCkXPnNmnMNmM210.,,,服从超几何分布则称这里XNMMmNn超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明离散型随机变量的分布两点分布均匀分布二项分布泊松分布几何分布二项分布泊松分布1010.p,n两点分布1n三、内容小结超几何分布退化分布几类常见的离散型分布分布名称记号分布律背景退化分布(单点分布)1}{cXP必然事件①②两点分布(或0–1分布)X~B(1,p))1,0()1(}{1kppkXPkk贝努里概型(0p1)分布名称记号分布律背景③离散型均匀分布),,2,1(1}{nknkXP古典概型④二项分布X~B(n,p)),,1,0()1(}{nkppCkXPknkknn重贝努里概型⑤泊松分布X~P()(0)(0p1)),2,1,0(!}{kekkXPk稀有事件分布名称记号分布律背景⑥几何分布),,2,1()1(}{1nkppkXPk在n重独立试验中，A首次发生的试验次数为X.⑦超几何分布}),min{),,1,0(}{nMllkCCCkXPnNknMNkMNMNn,设N件产品中有M件次品，从中任取n件，其中的次品数为X.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?),0001.0,1000(~BX9991100010009999.00001.09999.01C设1000辆车通过,出事故的次数为X,则解?二项分布泊松分布n很大,p很小故所求概率为}1{}0{1}2{XPXPXP例4可利用泊松定理计算,1.00001.01000.0047.0!11.0!0111.01.0ee}2{XP9991100010009999.00001.09999.01C),,1,0(!)1(nkekppCkknnknkn例1从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、一件地取产品.设每次抽取时,所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品;(2)每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.备份题,1310}1{XP,1310133}2{XP,1310133}3{2XP13101331k故X的分布律为Xpk3211310131013313101332解,