第十三章轴对称复习与小结

第十三章轴对称复习与小结本章知识结构生活中的轴对称轴对称等腰三角形作轴对称图形的对称轴画轴对称图形关于坐标轴对称的点的坐标的关系等边三角形复习目标：1.轴对称的性质2.线段的垂直平分线性质和判定3.等腰三角形的性质与判定4.等边三角形的性质与判定5.作图（1）线段垂直平分线（2）轴对称图形（3）对称轴（4）坐标系中的对称（5）最短距离一.轴对称图形的定义如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形.如：等腰三角形等要求：1.会判断一个几何图形是否为轴对称图形AB2.会作轴对称图形的对称轴轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.要求：会作一个简单图形关于一条直线对称的图形。BACA´B´C´轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称区别联系图形①轴对称图形是指()具有特殊形状的图形,只对()图形而言;②对称轴()只有一条①轴对称是指()图形的位置关系,必须涉及()图形;②只有()对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.BCAC'B'A'ABC一个一个不一定两个两个一条ABCP┐二.线段垂直平分线用符号语言表示为：∵CA=CB，PC⊥AB，∴PA=PB定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个点的距离相等判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．用符号语言表示为：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上ABCP┐AＢCD（1）等腰三角形的两个底角相等；(等边对等角)用符号语言表示为：∵在△ABC中，AB=AC．∴∠B=∠C.三.等腰三角形的性质：（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(三线合一)等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．ABC用数学语言叙述为：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．符号语言：∵在△ABC中，∠B=∠C，∴AB=AC．等腰三角形的判定：是轴对称图形，其顶角的平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是等腰三角形的对称轴.两个底角相等，简称“等边对等角”顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合一”1.等腰三角形性质等腰三角形的两腰相等2.等腰三角形判定（1）定义法：证明一个三角形中有两边相等（2）用判定定理：证明一个三角形中有两角相等等腰三角形的性质与判定名称图形性质等边三角形等边三角形的性质:ABC三个角都相等，且都为60°三组三线合一三条边都相等轴对称图形，有三条对称轴四.等边三角形的性质与判定名称图形判定等边三角形等边三角形的判定:ABC三个角都等于60°的三角形三条边都相等的三角形有一个角等于60°的等腰三角形符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB．21在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.角B.任两边都不相等的三角形C.线段D.等边三角形2.下列图形中，只有一条对称轴的是（）ABCD3.点P（1，-2）关于y轴对称点的坐标是________BC(-1,-2)我思,我进步4.把一圆形纸片两次对折后，得到右图，然后沿虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是()ABCDB5.（福州·中考）下面四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是（）6.（日照·中考）已知以下四个汽车标志图案：其中是轴对称图形的图案是（只需填入图案代号）.C（1）（3）7.如图四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB=1.6cm，CD=2.3cm,则四边形ABCD的周长为（）A3.9cmB7.8cmC4cmD4.6cmBACDDBCA4题5题8.如图，∠B＝∠D,BC=DC求证：AB=ADB9.等腰三角形的一个角为100°，底角为_____10.等腰三角形的周长为16cm，腰比底长2cm，则腰长为_____11.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是.12.如右图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长。4006cm19cm13.在等腰△ABC中，AB=AC，若过B、C两点分别作BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，则BE=CF吗？请说明理由.∴CF=BES△ABC=AC·BE即AB·CF=AC·BEFECBA解：S△ABC=AB·CF∵AB=ACABCD已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.CD即为所求.五.作图（1）线段垂直平分线看画图过程回想线段的垂直平分线的尺规作法即对称轴和线段的中点的作法，并口述作法.（2）过直线外一点作已知直线的垂线的方法.CABDKFE（1）任意取一点K，使点K与点C在直线AB的两旁.（4）作直线CF，直线CF就是所求作的垂线.已知：直线AB和直线AB外一点C求作：直线CF，使CF⊥AB（3）分别以点D,E为圆心，以大于DE的长为半径画弧两弧交于点F.作法：（2）以C点为圆心，以CK的长为半径画弧，交AB于点D，E.1.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）CDP【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站.∴点P就是要建的公共汽车站的位置..A.B2.如图电信部门要在s区修建一座电视信号发射塔，按设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）mnOBP【提示】∠O的平分线和AB的垂直平分线在S区的交点就是要建的电视塔的位置.∴点P就是电视塔的位置.DEFMN（3）作轴对称图形.BACOlA′B′C′作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:1.确定图形中的一些特殊点.3.连接对称点.看画图过程回想作轴对称图形的一般步骤是什么？2.画出特殊点关于已知直线的对称点看画图过程回想作一个点关于一条直线对称的点的画法，并口述作法.lAA´┐过点A作直线l的垂线，垂足为点O,在垂线上截取OA´=OA，点A´就是点A关于直线l的对称点；作法：（4）坐标系中的对称31425-2-4-1-312345-4-3-2-1yxABC(-3,2)(3,2)(-2,3)关于x轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数即点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为(-x，y).-关于y轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）。(-5,-6)-251.点P(-5,6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.2.点M(a,-5)与点N(-2,b)关于x轴对称，则a=_____,b=_____.（5）最短路径1.两点在一条直线的两侧2.两点在一条直线的同侧3.一点在两相交直线内部4.两点在两相交直线内部5.两点在一条河两侧PACB１.如图，△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P.（1）求证：PA=PB=PC.（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？（1）证明：∵点P是边AB垂直平分线上的点，∴PA=PB,∵点P是边BC垂直平分线上的点∴PB=PC,∴PA=PB=PC.（2）点P是在边AC的垂直平分线上PACB结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.2.如图所示，在△ABC中，∠CAB的平分线AD和BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.求证：BM＝CN1.要证明BM＝CN需构造什么？2.D是BC的垂直平分线上的点应添加什么辅助线？3.点D是∠CAB的平分线上的点能得到什么结论？思路分析请自己分析后写出证明过程ABCDEMN证明：连接DB，DC，ABCDEMN∵点D是∠CAB的平分线上的点，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵点D是BC的垂直平分线上的点，∴DB＝DC，在Rt△DBM和Rt△DCN中DB=DCDM=DN{∴Rt△DBM≌Rt△DCN∴BM＝CNAFBDEC3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AD⊥CF（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由.4.如图，A,B,C三点在同一直线上，分别以AB,BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCD，AE交BD于点F，DC交BE于点G，①求证：AE=DCDABECFG4.如图，A,B,C三点在同一直线上，分别以AB,BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCD，AE交BD于点F，DC交BE于点G，②求证：BF=BGDABECFG例2.如图，A,B,C三点在同一直线上，分别以AB,BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCD，AE交BD于点F，DC交BE于点G，③连接FG,求证：FG∥ACDABECFG4.如图，Ａ，Ｂ，Ｃ三点在同一直线上，分别以ＡＢ，ＢＣ为边在ＡＣ同侧作等边⊿ABＤ和等边⊿BＣＥ，ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，ＤＣ交ＢＥ于点Ｇ④求∠ＡＨＣ的度数。DABECFGH●ABC·P15.已知在等边△ABC中，如果P是△ABC所在平面上的一点，且△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，那么这样的点P的位置共有几个？试一一画出.趣味数学如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边上，∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，则∠MEF=.ABCDEFMN75°