Sign problem and MEM in lattice field theory with

第四节矩阵的逆上页下页返回在第二节我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也与复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.这一节讨论的矩阵，如不特别说明，都是n×n矩阵，即都是n级方阵.上页下页返回我们知道，对于任意的n级方阵A都有AE=EA=A相仿地，我们引入方阵可逆的概念如下这里E是n级单位矩阵.因此，从乘法的角度来看，n级单位矩阵在n阶方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数a≠0的倒数a-1可以用下面等式刻画aa-1=a-1a=1说明：由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足等式(1)，（大家想一想为什么？）上页下页返回定义7对n级方阵A，如果有n级方阵B，使得那么A称为可逆的。这里E是n级单位矩阵.AB=BA=E.(1)结论：对于任意的矩阵A，满足等式(1)的矩阵B是惟一的（如果有的话）.证明：设B1,B2是两个满足等式(1)的矩阵，故B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2.有AB1=B1A=E，AB2=B2A=E上页下页返回定义8如果矩阵B适合(1)式，那么B就称为A的逆矩阵，记为A-1.即B=A-1.由上面我们知道，如果矩阵A是可逆的。则其逆矩阵A-1是惟一的.下面我们要解决两个问题：1.在什么条件下矩阵A是可逆的？（判断）2.如果A是可逆的，再们样求A-1？（求法）定义9设Aij是矩阵,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA上页下页返回先介绍一个非常有用的概念.中元素aij的代数余子式，矩阵,212221212111nnnnnnAAAAAAAAAA称为A的伴随矩阵.由行列式按一行(列)展开的公式立即得出其性质：(2)dEdddAAAA0000000上页下页返回其中.Ad如果那么由(2)得.0Ad.11EAAdAdA(3)由此立即得到定理3矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而且有AdA11).0(Ad上页下页返回证明(＜=)当d=|A|≠0，由(3)可知，A可逆，且AdA11(4)(=＞)反过来，如果A可逆，那么有A-1使.1EAA两边取行列式，得,11EAA(5)因而|A|≠0，即A是非退化。证毕.由(5)可以看出，如果那么有,0dA.11dA上页下页返回根据定理3，容易看出，对于n级方阵A、B，如果那么A,B就都是可逆的，并且它们互为逆矩阵.AB=E或BA=E定理3不但给出了一个矩阵可逆的判断条件，同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求逆矩阵的方法.（这就是说，可用一个式子判断可逆性.）推论如果矩阵A,B可逆，那么AT与AB也可逆，且上页下页返回(AT)-1=(A-1)T(AB)-1=B-1A-1证明由定理即得推论的前一半，即AT与AB也可逆。现在来证后一半。由EAAAA11两边取转置，有(A-1)TAT=AT(A-1)T=ET=E因此有(AT)-1=(A-1)T由(AB)(B-1A-1)=(B-1A-1)(AB)即得(AB)-1=B-1A-1.证毕.上页下页返回利用矩阵的逆，可以给出Cramer法则的另一种推导法.对线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,,如果|A|≠0，那么A可逆.用X=A-1B代入(6)，可以写成（第二节例2）AX=B（6）得恒等式A(A-1B)=B，这就是说是A-1B一个解.上页下页返回如果X=C是(6)的一个解.那么由这就是说，解X=A-1B是惟一的.用A-1的公式(4)代入，乘出来就是Cramer法则中给出的公式.AC=B联系到可逆矩阵，关于矩阵乘积的秩有.得A-1(AC)=A-1B即C=A-1B定理4A是一个s×n矩阵，如果P是s×s可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，那么有).()()(AQPAA秩秩秩所以得);()(AB秩秩).()()(PABA秩秩秩).()(BA秩秩上页下页返回证明令B=PA由定理2有但是由A=P-1B又有另一个等式可以同样地证明.证毕.解1)因行列式|A|=2≠0，故矩阵可逆.上页下页返回6131817500230012)1A例求下列各方阵的逆矩阵：再算代数余子式A11=4，A12=-6，A13=-10，A14=4A21=-2，A22=4，A23=14，A24=-4A31=0，A32=0，A33=-6，A34=1A41=0，A42=0，A43=-8，A44=1由此得上页下页返回得到其伴随矩阵为;212122437500230012;114486141000460024A;||1144861410004600242111AAA2000012000012000012000012)2A上页下页返回解2)因行列式|A|=32=25≠0，故矩阵可逆.再算代数余子式A11=A22=A33=A44=A55=16=24，A21=A32=A43=A54=8=23，A31=A42=A53=4=22，A41=A52=2，A51=1，A12=A13=A14=A15=A23=A24=A25=A34=A35=A15=0上页下页返回由此得逆矩阵为;200002200022200222201222221||143423423423451AAA;2000022000222002222022222121321432154321);1(,)3bcaddcbaA上页下页返回解3)因行列式|A|=ad-bc=1≠0，故矩阵可逆.得到其伴随矩阵为;acbdA由此得逆矩阵为;||11acbdAAAA