一、可积的必要条件

一、可积的必要条件二、可积的充要条件三可积条件三、可积函数类一、可积的必要条件定理9.2若函数f在上可积，则f在上必定有界。证：（用反证法）。f在[,]ab上无界，则对于[,]ab的任一分割T，必存在属于T的某个小区间在,kfk上无界，在ik的各个小区间k上任意取定,i并记|()|iiikGfx]b,a[]b,a[若，使得：现对任意大的正数M，由于f在k上无界，故存在|()|kkMGfx于是有：1|()||()|niikkifxfx|()|iiikfxkkMGxGMx这与f在[,]ab上可积相矛盾，从而定理得证。kk注：任何可积函数一定是有界的，但有界函数却不一定可积。例1证明狄理克雷函数1,()0cxQDxxQ，在[0,1]上有界但不可积。证()1,[0,1]Dxx显然[0,1]T对于的任一分割，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T的任一小区间i上，当取i全为有理数时，11()1nniiiiiDxx当取全为无理数时，i1()0niiiDx所以无论T多么小，只要点集i取法不同，全取有理数或全取无理数，积分和有不同极限，即()Dx[0,1]在不可积二可积的的充要条件要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的.下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值.1.思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法T的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法T及介点i无关的条件.方案:定义上和)(__TS和下和)(Ts.研究它们的性质和当0T时有相同极限的充要条件.2.达布(Darboux1842～1917法国数学家)上和与下和的定义011,,nnfxababaxxxxb设在有界，在插入分点1,,1,2,,iiabnxxin把分成个小区间11sup,inf,iiiiiiMfxxxxmfxxxx记11nniiiiiiSMxSmx作和式1iiixxx分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和，统称达布和。说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点i的取法无关.分别用)(__TS、)(Ts和T记相应于分法T的上（大）和、下（小）和与积分和.3.Darboux和的性质:本段研究Darboux和的性质,目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:TT表示T是T的加细.()()()iiSTfxSTiix1,2,in任给显然有Riemann可积的第一充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积iniiTbaxMdxxf10||||lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10||||11sup{():}inf{():}iiiiiiMfxxxxmfxxxx其中：xi-1xixi-1xiRiemann可积的第二充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积10,niiiTx分割，使得11sup{():}inf{():}iiiiiiiiiMfxxxxmfxxxxMm其中：xi-1xiRiemann可积的第三充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积的总长度不超过的小区间，使得所有振幅分划，iiT,0iiiiiniixxxii1([,],)[,]abffab其中为在上的振幅([,],)iiiiabfxxxi-1xi)()],,([abfba三、可积函数类1.,,.abab上的连续函数在上可积,','',''''''abxxxxfxfxba上任意两点只要，就有:,fxab证明设在上连续，,fxab在上一致连续，0所以对任意的，0,使对于maxiTx使，则有',''sup(')('')iiiixxMmfxfxba1niiiSSxbaba所以,.fxab根据可积第二充要条件，在可积1,,1,2,,,iiabxxin把分成部分区间2.只有有限个第一类不连续点的函数是可积的，即分段函数是可积的.'''12,,,0002kfxkxxxk证明：设有个不连续点：，则对于任意的及，总存在适当小的，使，maxiTx而对任何分法，当时，'11,2,,,iiifxxikxx在不含有的区间上幅度皆小于，2fxk则的幅度不小于的区间至多有个，其长度总和小于，,fxab根据第三充要条件，在可积。3..单调有界函数必定可积,.fxabfbfa证明：设在上单调上升，则0,fbfa对任意的取。,max,iiabTx对作一分法，使得1,iiiiMmfxxx记及分别为在的上、下确界。,fx因为单调上升所以1,.iiiiMfxmfx于是111nniiiiiiiSSMmxfxfxfbfa,fxab根据第一充要条件知在可积。.Riemann例2讨论函数的可积性:1,,0,1RiemannppxpqNRxqqqx解函数当为既约分数0当和无理数'''120,,kRxxxxxk的至多有有限个设为，，，，共个.0,01,2k取，对，上的任一分割2Tk当时，'1,2,iiiixxxk的区间必包括这样的区间至多有个'.iix设其长度为，在这些区间上幅度'ix设其长度为，''2iixkT显然有，0,1.Rx根据定积分第三充要条件可知在可积0S对任意分割，其达布下和，故得100lim0RxdxS